你中有我、我中有你的分段数列

大罕

    问题：已知数列｛a_n｝首项a₁=a≠1/4,且当n为偶数时，a_n+1＝(1/2)a_n ，当n为奇数时，a_n+1＝a_n+(1/4)，

记b_n＝a_2n-1-(1/4)，
    ⑴求a₂，a₃；
    ⑵判断数列｛b_n｝是否为等比数列,并证明你的结论；
    ⑶求lim(b₁+b₂+…+b_n)   
    解：⑴a₂=a₁+1/4=a+1/4，a₃=(1/2)a₂=(1/2)a+1/8
        ⑵∵b_n+1=a_2n+1-1/4
               = (1/2)a_2n-1/4
               =(1/2) [ (a_2n-1+(1/4)]-(1/4)
               =(1/2)a_2n-1+(1/8)-(1/4)
               =(1/2)a_2n-1-(1/8)
               =(1/2)[a_2n-1-(1/4)],
          而b_n＝a_2n-1-(1/4)，
         ∴ b_n+1/b_n=1/2
         ∴ 数列｛b_n｝是等比数列.
         ⑶ 等比数列｛bn｝中，b₁= a₁-(1/4) = a-(1/4)，公比为(1/2)，
       ∴lim(b₁+b₂+…+b_n)=[a-(1/4)]/[1-(1/2)] =2a-1/2.

     在处理b_n+1时，要用到b_n+1=a_2n+1-1/4，而把求a_2n+1化为a_2n－1时要先后用到分段函数轮换递推，这就叫做：你中有我，我中有你.