负号消失型和负号提出型函数

——函数奇偶性的推广

大罕

    我们知道，对于函数f(x) ——

    如果对于函数定义域内的任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数。偶函数的图像关于y轴对称；

    如果对于函数定义域内的任意一个x，都有f(-x)=-f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数。奇函数的图像关于原点对称，

    为了便于学生理解和记忆，我们在将奇偶性加以推广时，给出如下说法。

    负号消失型函数：f(-x)=f(x)，等式一边的括号内的负号在另一边消失了，称为负号消失型；

    负号提出型函数：f(-x)=-f(x)，等式一边的括号内的负号在另一边好像被提出来了，称为负号消失型；

    以下是函数奇偶性的推广：

    命题1：若f(a+x)＝f(b-x)对定义域内任一个x值成立，则函数f(x)图像关于直线x=(a+b)/2对称.

    命题2：若f(a+x)＝-f(b-x)对定义域内任一个x值成立，则函数f(x)图像关于点((a+b)/2,0)对称.

    思考题：

    1.已知函数y=f (x)满足f(x)+ f(2-x)=0，则y=f(x) 图像关于__________对称.

    2.设y=f (x)对任意x∈R有f(1-2x)＝f(2x)，则y=f(x)图像关于__________对称.

    3．已知二次函数f(x)=ax²+bx满足f(1-x)＝f(1+x)，且方程f(x)=x有两个相等实根，求a,b的值.

    4．函数f(x)对一切实数x都有，如果f(x)=0恰好有4个不同的实数根，求这些根之和.

    5.二次函数f(x)图像过点(-2,1),满足f(4-x)＝f(1+x)，且在x轴的截距为-15，求其函数关系式.