数学语言揭秘

大罕

    数学语言因数学问题的一般性，而具有抽象性；因便于计算或变换，而符号化；因事物的复杂性，而逐步表述.这样一来，对于不熟悉数学语言的人来，读着读着一头雾水不知所云.可是，数学语言一旦被日常语言“翻译”，其实是那么地明了.下面我们分析一道题目：

    设集合M={1,2,3,4,5,6},S₁,S₂,…,S_k都是M的含两个元素的子集，且满足：对任意的S_i=(a_i,b_i),S_j=(a_j,b_j)(i≠j，i,j∈{1,2,3,…,k})，都有min{a_i/b_i,b_i/a_i}≠min{a_j/b_j,b_j/a_j}(min{x,y}表示两个数x,y中的较小者)，求k的最大值.
    集合M={1,2,3,4,5,6}——这是一个由1,2,3,4,5,6这六个元素组成的集合. 
    S₁,S₂,…,S_k都是M的含两个元素的子集——M的所有的含有两个元素的子集是： {1,2},{1,3},{1,4},{1,5},{1,6},{2,3},{2,4},{2,5},{2,6},{3,4},{3,5},{3,6},{4,5},{4,6},{5,6}共15个，分别记为S₁,S₂,…,S₁₅.    
    对任意的S_i=(a_i,b_i),S_j=(a_j,b_j)(i≠j，i,j∈{1,2,3,…,k})——S_i,S_j(i,j∈{1,2,3,…,k})是以上15个集合中的两个，并且因为i≠j，所以是不同的两个集合.
     min{a_i/b_i,b_i/a_i}≠min{a_j/b_j,b_j/a_j}(min{x,y}表示两个数x,y中的较小者)——将以上每个集合中的两个元素a_i,b_i拿出来作商:a_i/b_i和b_i/a_i，然后在这两个商中取较小者，同时，两个不同集合取得的最小者是互不相同的.例如将集合{1,2}中的两个元素1和2拿出来作商：1/2,2/1，取较小者就是1/2。按此办理，共有15个较小的商：1/2,1/3,1/4,1/5,1/6,2/3,2/4,2/5,2/6,3/4,3/5,3/6,4/5,4/6,5/6.
     求k的最大值——这15个商中，有4个重复出现了：2/4=1/2,2/6=1/3，3/6=1/2,4/6=2/3,不应计算在内，所以k的最大值为11.
    既然数学语言一经翻译竟如此明了，那么我们为什么不用日常语言描写它？当然，除了文首所说的一般性、便于计算性和深刻性外，精炼准确是其根本的原因.
    不信，我们试用日常语言描写一番：
    集合M是一个由1,2,3,4,5,6六个数字组成的集合. 列出M的所有含有两个元素的子集，将每个子集中的两个元素拿出来作商，并取较小者，试问不同的商最多共有多少个？
    以上的描述，与原题题意大体相当.虽通俗易懂，但不够精确，且数学味道寡淡.
    笔者提倡将数学问题用文字描述时尽量通俗和精炼，不要为数学语言而数学语言，更不可故弄玄虚. 同时，也不要因为通俗化而损害数学问题的精确表达，例如2011年上海高考理科第23题，用通俗语言表达则颇费周折（详见大罕的博客相关文章）.

   因此，教会学生理解和使用数学语言的窍门与方法，是高中教学的一个重要任务.