基本不等式运用一例

——答黄正琦同学

大罕

   已知：0<a<2,0<b<2,0<c<2,

   求证：a(2-b),b(2-c),c(2-a)三个数不可能都大于1.

   证明：

   ∵ 0<a<2,0<b<2,0<c<2,
   ∴ 2－a>0,2-b>0, 2-c>0,
   ∴0＜[a(2-b)][b(2-c)][c(2-a)]
    = [a(2-a)][b(2-b)][c(2-c)] 
    ≤[(a+2-a)/2]²[(b+2-b)/2]² [(c+2-c)/2]²
    = 1 ，

  （当且仅当a＝2-a，b＝2-b，c＝2-c，即a＝b＝c＝1时取“＝”号）
   ∴a(2-b),b(2-c),c(2-a)不可能都大于1.

   评注：这里运用了基本不等式的变招：xy≤[(x+y)/2]² ,运用之前对积式利用乘法交换律作了调整.