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[原创]基本不等式运用一例

(2011-02-12 12:22:11)
标签:

基本不等式

运用

校园

分类: 代数

基本不等式运用一例

——答黄正琦同学

大罕

 

   已知:0<a<2,0<b<2,0<c<2,

   求证:a(2-b),b(2-c),c(2-a)三个数不可能都大于1.

   证明

   ∵ 0<a<2,0<b<2,0<c<2,
   ∴ 2-a>0,2-b>0, 2-c>0,
   ∴0<[a(2-b)][b(2-c)][c(2-a)]
    = [a(2-a)][b(2-b)][c(2-c)] 
    ≤[(a+2-a)/2]2[(b+2-b)/2]2 [(c+2-c)/2]2
    = 1 ,

  (当且仅当a=2-a,b=2-b,c=2-c,即a=b=c=1时取“=”号)
   ∴a(2-b),b(2-c),c(2-a)不可能都大于1.

   评注:这里运用了基本不等式的变招:xy≤[(x+y)/2],运用之前对积式利用乘法交换律作了调整.

 

 

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