含绝对值的函数的图像

———给朱正怡同学答疑

大罕

    含绝对值的函数，如去掉绝对值符号，则是分段函数。

    化为分段函数，是作这类函数图像的“保底”的方法。

    含绝对值的函数，其绝对值符号出现的方式无非以下三种情况

    ⑴整“绝”（函数式右边整个加绝对值）：y=|f(x)| ,例如y=|x－1|；

    ⑵x“绝”（函数式右边纯x处均加绝对值）：y=f(|x|)，例如y=|x|－1；

    ⑶乱“绝”（函数式右边杂乱无章地加绝对值）：例如y=x²-2|x+1| -1

    乱“绝”函数的图像，一般需要先化为分段函数，再画图。

    整“绝”函数的图像，一般用翻折法画图，方法是“上留下翻”：

    先画y=f(x)图像，将x轴上方部分留着，将在x轴下方的图像以x轴为对称轴翻折到x轴上边去，即得 y=|f(x)|图像。

    x“绝”函数的图像，一般用翻折法画图，方法是“右留翻左”：

    先画y=f(x)图像，将y轴右方部分留着，并将它以y轴为对称轴翻折到y轴右边去，即得 y=f(|x|)图像。

    两个或多个整“绝”的一次函数的和，有乱“绝”之嫌，当然可以先化为分段函数再画图之，但是，由于其图像是三段直线型（一条线段和二条射线）图像组成，可以用折点（拐点）作图法：

    先逐个找出每个绝对值的零点（局部零点），再以此为横坐标算出相应的纵坐标，得到若干个折点，并将诸折点连接成线段，然后在最左边和最右边的折点的两边，利用函数式得到各得到一个辅助点，并连成射线。于是函数的图像大功告成。

    例1 作函数y=| x-1|+|x+2|图像。

    解：图像如图1，作法从略。

    利用函数图像，可以简捷地解决一些问题，如解不等式，求取值范围，证明恒成立。 

    例2 解不等式：| x-1|+|x+2|≤4

    解：在同一直角坐标系下，分别作出

y=| x-1|+|x+2|和y=4的图像如图2；再解方程

| x-1|+|x+2|＝4得，x₁=-3/2，x₂=5/2，

    由图可知，-3/2≤x≤5/2为所求。

    思考题：解不等式：| x-1|－|x+2|＞3（提示：方法与例2一样。）