函数的对称性和周期性

大罕

   一、对称性：

    ①若f(a+x)=f(a-x)，x∈R恒成立，则y=f(x)关于x=a对称．

    ②若f(a+x)=f(b-x)，x∈R恒成立，则y=f(x)关于x=(a+b)/2对称．

    ③若f(a+x)= -f(a-x)，x∈R恒成立，则y=f(x)关于点（a，0）对称．

    ④函数y=f(a+x)与y=f(b-x)的图象关于直线x=(b-a)/2对称．

    ⑤函数y=f(x)关于y= -x对称的函数为-x=f(-y)，即y= - f -1(-x)．

   二、关于周期、

    ①f(x+a)=f(x)  (a≠0)→T=a．

    ②f(x-a)=f(x+a) (a≠0)→T=2a．

    ③f(x-a)= -f(x) (a≠0)→T=2a．

    ④f(x)关于直线x=a对称，且为偶函数→T=2a．

    ⑤若定义在R上的函数f(x) 关于x=a和x=b(b>a)对称，则y=f(x)为周期函数，2b-2a为它的周期（未必最小正周期）．