S_n与a_n间的直达通道

大罕

    数列{a_n}的前n项的和S_n与第n项a_n之间有一条直达通道,这是一条神奇的通道：
    当n=1时，a₁=S₁；当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1.

    可是,一些学生对于这一通道还不够熟悉，运用不够自觉，运用时不能得心应手. 之所以这样，既有知识的原因，也有能力的原因.需要在教师的精巧指点下强化训练.

    第一，什么时候启用通道？当一个等式里同时出现a_n与S_n，就要启用这一通道。

    第二，如何在通道里行驶？我们的目标是将a_n与S_n混杂的等式进行化归，使其成为要么是纯S_n、要么是纯a_n的式子.

    （一）化为纯S_n：把a_n=S_n-S_n-1代入等式即可.

    例1:在数列{a_n}中，a₁=1，当n≥2时， a_n,S_n,S_n－1/2成等比数列,求a_n的表达式. 
    解：(化归为纯S_n的式子)

    ∵a_n,S_n,S_n－1/2成等比数列,∴S_n^²=a_n(S_n－1/2),

    将a_n=S_n－S_n-1代入上式，整理得到：(1/S_n)-(1/S_n-1)=2，∴数列{1/Sn}是以1为首项，公差为2的等差数列，
    ∴1/S_n=1+(n-1)×2=2n-1，则S_n=1/(2n-1)；∴a_n=-2/[(2n-1)(2n-3)] (n≥2).

    （二）化为纯a_n：把已知等式写一遍，再将n换成n-1再写一遍（简称为写两遍），两个等式相减即可.

     例2:数列{a_n}满足S_n＝2n－a_n  (n∈N*)． 求数列通项公式。
     解:当n=1时，S₁=2-a₁, ∴a₁=1 ,

        S_n＝2n－a_n                             ①  (写一遍)

       S_n-1＝2(n-1)－a_n-1                          ②  (再写一遍)

      ①-②得    a_n=(1/2)a_n-1+1,

     可化为a_n-2=(1/2)（a_n-1-2）,

     ∴数列{a_n-2}是首项为-1，公比为1/2的等比数列，

     ∴a_n-2=-(1/2)^n-1

     ∴a_n=-(1/2)^n-1+2