数学认知上的一个误区

大罕

   有一道十分简单的题，一些学生（成绩中等偏下的）却不会做：
   等比数列{a_n}中，若a₁+a₂+a₃+…+a_n=2ⁿ-1，则a₁²+a₂²+a₃²+…+a_n²=                .
   其实,学生对a₁+a₂ +a₃+…+a_n可以用S_n表示，丝毫不会怀疑．也就是说,对S_n的认知是没有问题的.

   奇怪的现象出现了:

   若把条件写成S_n=2ⁿ-1，他们会做(即通过Sn求出a_n，确定数列的首项与公比，从而获解)．可是，把条件写成a₁+a₂+a₃+…+a_n=2ⁿ-1，他们就不会做了！  

   一样的东东，认此不识彼，岂不怪哉！

   心理学告诉我们:空间认知是以视觉空间表象为核心，对各种视觉空间信息进行加工、处理的活动．我们在数学活动中，数列前n项的和，其视觉空间的表象是用数学符号来代替的.而在使用符号时,S_n=a₁+a₂+a₃ +…+a_n一带而过,以后就大量运用S_n了.于是给学生一个错觉,以为数列前n项的和只能用来表示S_n, 而对S_n的本原意义a₁+a₂+a₃+…+a_n产生了一种陌生感，不知其为何物,进入了误区.

　　这一看来怪异的现象是怎么样产生的?问题还出于对“视觉空间信息进行加工、处理”上．怎么样处理和加工才算到位的？我想强调的是，对概念的内涵与外延，要作周全的考虑，不失时机地加以训练．