“偷梁换柱”,“顺手牵羊”求函数

大罕

   已知函数在某区间的解析式，求其在另一区间的解析式，此类问题并不难.可是，如何让学生对处理这类问题的思路留下深刻的印象,为此我抛出了一个说法:偷梁换柱，顺手牵羊.贬词褒用，震聋发聩，自然效果显著.

  一、分段函数具有奇偶性的情形
　　例1 已知函数f(x)是R上的奇函数，当x∈[0,+∞)时，f(x)=x(1+log₃x)，求函数f(x)在(-∞,0]上的解析式.
　　分析：不是要求在(-∞,0]上的解析式吗？好，你问什么，我就设什么：设x∈(-∞,0]，则-x∈[0,+∞)。这一设，一转化，就叫做“偷梁换柱”.
　　解：设x∈(-∞,0]，则-x∈[0,+∞)。
　　　　∵当x∈[0,+∞)时，有f(x)=x(1+ log₃x)，∴当x∈(-∞,0]时，有
　　　　f(-x)=-x(1+ log₃x)　　　　①
　　　　又∵f(-x)=-f(x) 　　 　   ②
　　　　∴由①和②，得
　　　　f(x)=x(1- log₃x)(x≤0)。
二、分段函数具有周期性和对称性的情形

   例2 若定义在R上的偶函数f(x)满足f(1-x)=f(3+x)，又当x∈(0,2)时，f(x)=log₂x，则当x∈(-4,-2)时，求f(x)的解析式.            

   分析：这一类问题具有周期性,找出其周期,便可以“偷梁换柱”了.

   解:由f(1-x)=f(3+x)知，函数f(x)关于直线x=2对称,又因f(x)为偶函数,所以它是周期函数,周期T=4,

设x∈(-4,-2)，则x+4∈(0,2)，
　　　　∵x∈(0,2)时，f(x)=log₂x，∴当x+4∈(0,2)，∈(-∞,0]时，有

        f(x+4)=log₂（x+4)　　　　
　　　　∴f(x)=f(x+4)=log₂（x+4).  　　　  
　　　　

胡歌:一下很安静