代入法----平凡而奇异的方法
大罕

   解二元一次方程（y=kx+b，Ax+By+C=0）常用代入消元法．代入法，看似平凡，实则奇妙，许多问题用这一方法便可迎刃而解．
   带等式条件的函数最值问题，把条件等式视为方程，用其它字母表示某一字母或数值，再代入结论式子，通过这番“消元”，局面随之打开．
   例1 已知正数x,y满足a/x+b/y=1，其中a,b为不相等的正常数，求x+y的最小值．
   解：把令1=a/x+b/y代入1(x+y)中，有
   x+y=1(x+y)=(a/x+b/y)(x+y)=a+b+ay/x+bx/y≥a+b+2ab=(a+b)²．
  ∴x+y的最小值是(a+b)²．  
   数列综合题，被公认为较为困难的问题．把代入法运用其中，有时可起到“山穷水复疑无路，柳暗花明又一村”的作用．又如
   例2(山东省2005年高考题) 已知a₁=2，点(a_n,a_n+1)在函数f(x)=x²+2x的图象上，其中n=1，2，3，…
   ⑴证明数列｛lg(1+a_n)｝是等比数列；
   ⑵设T_n=(1+a₁)(1+a₂)…(1+a_n)，求T_n及数列｛a_n｝的通项；
   ⑶记b_n=1/a_n+1/(a_n+2)，求｛b_n｝数列的前项和S_n，并证明S_n+2/(3T_n-1)=1.
   我们研究第⑶问：由于数列记｛b_n｝的通项公式b_n=1/a_n+1/(a_n+2)中含有1/(a_n+2)，为了消去1/(a_n+2)，我们再看已知条件:
   因为点(a_n,a_n+1)在函数f(x)=x²+2x的图象上，
   所以a_n+1=a_n(a_n+2)，
   于是1/(a_n+2)= 1/a_n-2/a_n+1，代入，
   就有b_n=1/a_n+1/(a_n+2) =1/a_n+1/a_n-2/a_n+1=2(1/a_n-1/a_n+1)，
   所以 S_n=2(1/a₁-1/a₂)+ 2(1/a₂-1/a₃)+ …+2(1/a_n-1/a_n+1)
               =2(1/a₁-1/a₂+ 1/a₂-1/a₃+ …+1/a_n-1/a_n+1)
               =2(1/a₁-1/a_n+1),
以下的计算就很简单了.
   再看一个例子.
   例3 (四川省2005年高考题)数列｛a_n｝满足a₁=2，且8a_n+1a_n-16a_n+1+2a_n+5＝0,记b_n=1/ (a_n-1/2) ,
     （Ⅰ）求b₁、b₂、b₃、b₄的值；
     （Ⅱ）求数列｛b_n｝的通项公式及数列｛a_nb_n｝的前n项和S_n .