方向球面上的有向区域

----读书笔记/大罕

    设x,y是空间中的两点，把线段xy作平行移动，使起点x移到坐标原点O，终点y的新位置就记作

E=E(x,y)。这时线段OE与线段xy方向相同，长度相等。从到O到E(x,y)的射线与单位球面S交于一点G=G(x,y)，它就是方向球面S上代表线段xy的方向的那个点.图1

    设L₁,L₂是任意两条互不相交的有向简单闭折线，现在来考查，对于L₁的线段A_iA_i+1和L₂的线段A_j′A_j+1′，当点x取遍A_iA_i+1上的点，同时点y取遍A_j′A_j+1′上的点时，方向G(x,y)描出方向球面S上是怎样的一个区域？

    首先，我们看当点x取遍A_iA_i+1上的点，同时点y取遍A_j′A_j+1′上的点时，点E(x,y)构成空间中的什么图形.

    当x=A_i而y取遍A_j′A_j+1′上点时，E(A_i,y)描出从点E(A_i, A_j′)到点E(A_i, A_j+1′)的线段，记作E(A_i, A_j′ A_j+1′)，它与线段A_j′A_j+1′同向且等长。同理，当x=A_i+1而y取遍A_j′A_j+1′上点时，E(A_i+1,y)描出从点E(A_i+1, A_j′)到点E(A_i+1, A_j+1′)的线段E(A_i+1, A_j′ A_j+1′)，它也与线段A_j′A_j+1′同向且等长. 

   值得注意的是，从线段E(A_i, A_j′ A_j+1′)到线段E(A_i+1, A_j′ A_j+1′)的平行移动，其方向恰好与线段相反，而距离则相同；换句话说，从E(A_i, A_j′)到E(A_i+1, A_j′)的线段与A_i A_i+1方向相反长度相同.由此看来，当x取遍A_i A_i+1上各点时，线段E(x,, A_j′ A_j+1′)扫过的图形是个平行四边形，以E(A_i, A_j′), E(A_i, A_j+1′), E(A_i+1, A_j′), E(A_i+1, A_j+1′)四点为顶点.