普通高中课程标准实验教科书 数学5 (必修)第5章《不等式》

内容简介及教学意见

王方汉(大罕)

 （注：本章由大罕主笔撰写）

    一、关于新课标教材.

    1．新课标教材与旧教材的不同之处.

     ⑴淡化了不等式的性质；

     ⑵取消了三元的基本不等式；

     ⑶降低了对证明不等式的要求；

     ⑷增加了线性规划一节；

     ⑸强调了不等式源于生产生活实际以及应用；

     ⑹观念上更为现代.

    2．编写新教材中的一些指导思想.

     ⑴ 注意教材蕴含着对三个目标（知识目标，能力目标和情感目标）的设置.

     例如“不等式表示平面区域”一节,

     知识目标： ①知道二元一次不等式表示的平面区域的意义.②会画二元一次不等式（组）表示的平面区域.

    能力目标：渗透集合、数形结合、化归等数学思想；培养学生归纳猜想能力.

    情感目标：培养学生严谨、细致的做事态度；体验探究问题的乐趣，激发学生学习数学的兴趣；渗透运动、变化的辨证唯物观.  

    ⑵ 注意教材有利于学生数学应用意识的培养.

    数学意识是对数学的基本看法和概括认识，是在对数学知识的学习、思维的训练、能力的提高中形成的.如何促使学生数学应用意识的形成必须注意：

    ① 人的基本数学素质是主动应用数学知识的意识，促使学生主动运用数学知识，在实际情境中发现问题和提出问题的意识，善于把问题与已有的数学知识联系起来，并积极进行思考，主动地解决问题.面对实际的问题，能主动尝试着从数学的角度运用所学知识和方法寻求解决问题的能力.

    ② 认识到现实生活中蕴藏着大量的数学信息，数学在现实世界中有着广泛的应用.对生活中的数学现象具有一定的敏感性，认识到生活中处处有数学，数学就在我们身边，认识到数学是有用的，随着时代的发展，数学的应用价值会日益体现.   

    ⑶注意数学的本来面目及来源数学的本来面目就是数学的两重性，即数学理论的抽象性、严谨性和形式性与数学起源和发现的经验性.   

    数学家、计算机之父冯·诺依曼（Von Neumann，J．）把这种两重性看成是数学的本来面目著名数学家和数学教育家波利亚（Pólya，G．）也曾精辟地指出：“数学有两个侧面，一方面它是欧几里德式的严谨科学，从这个方面看，数学象是一门系统的演绎科学，但另一方面，创造过程中的数学，看起来却象是一门试验性的归纳科学.” 新课标教材在这两重性方面，都加以注意.纠正了原教材中强调抽象性的倾向.   

     ⑷注意数学题的训练功能及难度控制 “数学是思维的体操”.数学题训练功能体现在承载数学知识，形成数学能力，培养数学思维.

    难度控制指不证明式的证明上，强化通法，弱化特技特法.对不等式证明的外延不刻意去发挥，例如关于三角形的不等式，多元的不等式，分式根式不等式等.  

      ⑸注意教材的整体结构及各章节所担负的任务，重点内容与非重点内容十分清晰，不刻意在每一个知识点上着力挖掘，正如房间里处处挂满各种美丽的装饰，却失去了它的主体风格.   

    不等式这一章的主要任务是会从实际中抽象出不等式或线性规划的问题，解各种类型的不等式，解决简单的线性规划问题.

     ⑹新课标教材是一种新的尝试，还存在不少问题，甚至是重大的问题.     

      ①《新课标》不需要所有的人都接受严格的数学训练，例如弱化不等式性质，不开拓不等式的证明，对于培养学生的理性思维能力是不利的.     

      ②《新课标》主张数学贴近生活,每一个新的知识的引入，都要回归现实的需要，举出实例.有牵强附会之嫌，而且带来教学中尴尬.例如重要不等式的引入，用一个实例：某化工厂有甲、乙两个污水池处理池，用来除去污水中的杂质.现考虑用两种工艺来处理，用第一种工艺时，经过甲池后污水中的杂质剩下原有的，经过乙池后污水中的杂质剩下原有的；用第二种工艺时，经过甲、乙池均剩下原有杂质的.现在要问：用哪一种工艺能较多地除去污水中的杂质？      

     ③新课标教材中许多案例需要在多媒体上运行,一些案例需要复杂的教具，很可能由此带来不便.

    二、对新课标教材教学的具体意见

    1.关于引言.

    引言中糖水加糖的例子十分生动，内容简介也是必要的，因此引言应纳入教学内容，不要抛给学生自学.

    2.关于3.1不等关系.

    例1例2例3由生活实际引入不等式，以及作业的配备，都鲜明地凸现了数学来源于生产生活实际的思想，必须认真讲授和练习.而例4例5是不等式基本性质的运用，这就暗示我们，虽然教学的主体部分没有阐述不等式的更多性质，只是列出了不等式的基本性质（实数比较大小，不等式两边同加和同乘），但仍然要求我们用用基本性质推证不等式的相关性质.    

    3.关于3.2.1一元二次不等式的解法.

    本节是重点内容.

    二次不等式可以源于生产和生活实际，那么解决二次不等式问题就是纯数学的事情了。切入点是三个二次的关系(二次函数,二次方程和二次不等式). 通过讨论，教材明确提出了一元二次不等式ax²+hx+c<0(>0)(a≠0)与相应方程ax²+hx+c=及函数y=ax²+hx+c的联系，运用了数形结合的方法.建议在教学中与学生一道细细体会,不能走过场,一笔带过.

    教材给出了4个解不等式的例子,囊括了各种情形,同时给出了算法的流程图. 解不等式是教材的重点内容, 每个例子都要认真处理.

    本节的练习题及习题覆盖面较广，具有代表性，具有一定的深度和难度,它与教材主体内容相互照应,还作了一些补充,两者共同形成了一个有机整体.

    4.关于3.2.2一元二次不等式的应用举例.

    本节既是重点,也是难点.

    本节有3个例题，1道练习题和3道习题。例题与练习题的配置很有讲究。其意义在于：一是强调数学的实用性，二是用以强化学生分析问题和解决问题的能力。例1是成本测算问题，例2是汽车行驶问题，例3是台风袭击问题，都有一定的难度。例题弄懂了，掌握了，练习题和习题就好办了。建议根据学生的实际情况必要时再补充几个习题。

    5.关于3.3.1实际问题中的二元一次不等式（组）.

    本节同样采取了从实际问题引入的方式，加上后续的线性规划问题同属于应用问题，整个章节充分体现教材的指导思想，着力于数学意识的培养。

    本节给出了2个例题，重点还是列出不等式，建议在教学时列出一个表格，这样处理更为直观。

    6.关于3.3.2二元一次不等式（组）表示的平面区域。

    本节的重点是考察二元一次不等式（组）的几何意义。.

    要郑重地考察3.3.1节的不等式3.6x+3.0y-50≤0的几何意义，在此基础上再考察3.3.1节例1的不等式组，从而深入理解一般二元一次不等式（组）表示的平面区域。

    7.关于3.4简单的线性规划问题。

    为叙述实际问题方便计，本节给出了约束条件、目标函数、线性规划、可行解、可行域和最优解等数学术语，不可深加追究，也不可避而不谈。

    讲解例1重在实际问题的转化、表达和解决，并提出相关数学术语。

    讲解例2重在解决线性规划问题的程式化。

    教师要带个好头，教学时认真绘图，并要求并指导学生画好图。

    8.关于3.5基本不等式。

    引例是一个有趣的实际问题。

    基本不等式引入后，例1立即给出了利用基本不等式求最大（值）的条件，这种编排无疑是强调基本不等式的应用。

    不出所料，例2例3就是两个求最值的实际应用题。

    配备的3道练习题和7道习题，起点不低，要慎重对待。

   9.关于本章复习题。

    A组题有11道题，B组题有8道题，对学生要求较高。每一道题是一类题的代表，处理这些习题时，根据学生情况，可作必要的铺垫和补充。尤其是应用题，是本章的把关题，要求学生适应这种题型，能从容应对和顺利解决。

   10.关于本章思考与实践。

   第1题有一定的难度，难在数学模型的建立。

   第2题是考察学生的实践能力。