评估上海市2009年高考理科数学卷第18题

撰文/大罕

    以下是上海市2009年高考理科数学卷的第18题：

    过圆C：(x-1)²+(y-1)²=1的圆心，作直线分别交x、y正半轴于点A、B，△AOB被圆分成四部分（如图），若这四部分图形面积满足S_Ⅰ+S_Ⅳ=S_Ⅱ+S_Ⅲ，则直线AB有（   ）．

  （A） 0条    （B） 1条    （C）  2条    （D） 3条

　　解答：

   设角∠BCE=α, 则BE=tanα, DA=cotα(0<α<π/2),  则由扇形面积公式

   S_扇形=(1/2) r²α(α是扇形的中心角, r是扇形所在圆的半径 )

可得:

    S_Ⅰ=S_△CDA-S_扇形DCF=(1/2) cotα-(1/2)(π/2-α),

    S_Ⅱ=S_{正方形ODCE}-S_扇形ODE=1-π/4,

    S_Ⅲ=S_△BEC-S_扇形GBE=(1/2) tanα-(1/2)α,

    S_Ⅳ=S_半圆C =π/2,

   ∵S_Ⅰ+S_Ⅳ=S_Ⅱ+S_Ⅲ，

   ∴(1/2) cotα-(1/2)(π/2-α)+π/2=1-π/4+(1/2) tanα-(1/2)α,

   整理得：tanα-cotα=2α+π-2,

   由tanα-cotα=-2cot2α,可得

    cot2α=-α-π/2+1,

   以下分别考察函数y=cot2α和y=-α-π/2+1(0<α<π/2)的图像,

y=cot2α图像周期为π/2, 而y=-α-π/2+1(0<α<π/2)的图像是直线y=-α-π/2+1在区间(0,π/2)上的一段,它们有且仅有一个公共点,即这样的直线AB只有一条，故选B.

评估:

    作为填选题的最后一道题，第18题显然有较大的难度．此题有如下优点：

    1．选材出奇。高考的准备过程中，应试者与出题者一直在做押题与反押题的周旋。命题人如果在冷点上作文章，肯定会受到应试者及背后的众多人们的指责,那也不是高手所为.在高中数学教材中,扇形的面积并不受人们特别青睐，不是热点内容,也肯定不能视为冷点内容，至多是人们的容易忽视的内容.而本题偏偏在这一点上切入。由此看来，押题不如在重在基础,以不变应万变.

    2．立意巧妙。如果题目单纯计算扇形面积,那就成一道平面几何题了，会偏离考查的目标，而本题在直角坐标系下，设某角为自变量,相关线段就可以用三角函数表示,继而引入到扇形面积的计算之中，过程虽自然却刁钻. 面对一个"怪"的方程(左边是三角函数式,右边是一次函数式),当然只能使用“见怪不怪”的方法---图像法了.

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