谈谈“数学期望”的教学

撰文/大罕

    在高中数学教材中，数学期望是新增加的内容，虽然它不是传统的重点内容,但由于其具有较强的实用价值,在高三试题中经常出现,因而受到大家的重视.

    数学期望概念的建立,是沿着基本事件——样本空间——随机变量——随机变量的概率分布律——数学期望这一线路完成的.但由于安排的学时短,教学节奏很快,可谓:走马看花尝浅而止,不作停留一气呵成。这就带来较为严重的后果:学生在没有深入理解概念、不熟悉其处理问题的方式情况下，“两岸猿声啼不住，轻舟已过万重山”,于是,在这种状态下,学生做题时当然只能瞎碰乱猜了.

    为了防止出现这种尴尬的局面,或者出现这一局面后纠正之，建议注意以下几点.

    第一，搞好随机事件概率的教学，打好基础.

    我们知道，离散型随机变量的一切可能的取值x_i与对应的概率P(ξ=x_i)之积的和称为数学期望，因此,在某一取值下计算其概率，是必须的.

    第二,要教给学生，随机变量与常规意义下的变量是有区别的，并加以训练.

    常规意义下的变量概念，是指基本初等函数而言的。在这里，自变量与函数都是变量。而且这种变量组成的集合一般是实数集或其真子集.

    例如函数y=log_ax的定义域（自变量的取值范围）是集合{x|x>0}，其值域（函数的取值范围）是集合{y|y∈R }.

    数列是一种特殊的函数，它是自变量取从1开始的正自然数的集合或其真子集的函数.

    在讲授数学期望时，必须明确地告诉学生，数学期望E也是一种函数，它的自变量是随机变量ξ,即

      Eξ= P₁ξ₁+ P₂ξ₂+… +P_nξ_n ,

    为了保持与函数自变量写法的一致性，以便于运用，教材又采取了如下写法：

    如果随机变量可以取中的任意一个值，取这些数值对应的概率分别为，则随机变量的数学期望是

      Eξ= P₁x₁+ P₂x₂+… +P_nx_n .

    我们还要注意到,数学期望的记号为Eξ，它与函数的记号f(x)是有所不同的,教学时一定要让学生加以比较，以示区别.

    一定要告诉学生，难点在于自变量的取值。一般来说，在高中数学教材中，自变量ξ的取值仅限于离散的数值，而且取值因题而异，且与实际意义直接联系.

    教学中，可以集中地举几个例子给学生看：

    例1 某射手对目标进行射击，直到第一次命中为止，每次命中的概率为0.6，枪中共有4发子弹，命中后尚剩余子弹数目ξ的数学期望是______________.

    分析：命中可以0,1,2,3次,因此ξ的取值为3,2,1,0.  答：2.376

    例2 在一次购物抽奖活动中，假设某10张奖券中有一等奖券1张，可获得价值50元的奖品；有二等奖券3张，每张可获得价值10元的奖品；其余6张没有奖，某顾客从此10张奖券中任抽2张，求：⑴该顾客中奖的概率；⑵该顾客获得的奖品总价值ξ（元）的概率分布列和数学期望Eξ.

    分析：没中奖,奖金为0元,仅中一个奖,可获奖金10元或50元,中2个奖,可获奖金20元或60元,因此ξ的取值为0,10,20,50,60. 答：⑴2/3；⑵Eξ=16.

    例3 某校高三举行三人投篮比赛,比赛规定：每投中一个球得100分,没投中得-100分.设某班同学每人投中的概率均为0.8,且每人投中与否相互之间没有影响.

     (1)求这三位同学每人各投一次总得分ξ的概率分布和数学期望；

     (2)求这三位同学总得分不为负分的概率。

    分析：ξ的取值为-300,-100,100,300 .条：(1)180；(2)0.896

    例4 甲、乙两人参加一项智力测试．已知在备选的10道题中，甲能答对其中的6道题，乙能答对其中的8道题．规定每位参赛者都从备选题中随机抽出3道题进行测试，至少答对2道题才算通过．

     ⑴求甲答对试题数ξ的概率分布及数学期望；

     ⑵求甲、乙两人至少有一人通过测试的概率．

    分析：ξ的取值为0,1,2,3. 答：⑴9/5；⑵44/45．

    例5 甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为1/2，乙每次击中目标的概率2/3，

      ⑴记甲击中目标的次数为ξ，求ξ的概率分布及数学期望Eξ；

      ⑵求乙至多击中目标2次的概率；

      ⑶求甲恰好比乙多击中目标2次的概率．

    分析：ξ的取值为0,1,2,3.答：⑴1.5；⑵19/27；⑶1/24．