训练题:异面直线所成的角

撰文/大罕

   异面直线是立体几何中的重要概念,求异面直线所成的角,是将空间问题转化为平面问题的极好范例,是学习立体几何的第一关,千万别掉以轻心.

   求异面直线所成的角,一般分为两个阶段.第一阶段是初级阶段,多以正方体或空间四边形为载体,所用的方法比较单一,也就是平移法.第二阶段是综合阶段,多以棱住棱锥为载体,所用的方法既可以是传统的平移法,也可以运用向量法.

   以下是第一阶段的训练题.

  1．异面直线a和b, 点A和B在直线a上，点C和D在直线b上，且 CA=CB ,  DA=DB,则异面直线 a 、 b所成的角为（  ）.

    A、90°   B、60°    C、45°    D、30°

  2．L₁，L₂是异面直线，A ,B在L₁上，A₁，B₁在L₂上，AA₁⊥L₂ ，BB₁⊥L₂,若AB＝m ，A₁B₁＝n，则异面直线L₁、L₂所成角的余弦值为             .   

  3．点A是BCD所在平面外一点，AD=BC，E、F分别是AB、CD的中点，且EF= AD，求异面直线AD和BC所成的角。

  4．在长方体ABCD—A₁B₁C₁D₁中，AA₁=c，AB=a，AD=b，且a＞b．求AC₁与BD所成的角的余弦．

  5．在正方体ABCD—A₁B₁C₁D₁中，E、F分别是BB₁、CD的中点. 求AE与D₁F所成的角.

  6．在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M, N分别为AA₁、BB₁的中点，若θ为异面直线CM和D₁N所成的角，则sinθ=____.

  7．ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD，PD=AD, 则PA与BD所成角的度数是（   ）.

    A、  30°   B、45°    C、60°    D、90° 

  8．在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中,M,N,P,Q分别是棱AB,BC,CD,CC₁的中点,则直线MN与PQ所成的度数是____.

  9．正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为1,则BD₁与CC₁所成角的正切值为_____,BD₁与CC₁的距离为_____.
  10．长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中,AB=BC=2a,AA₁=a, M,N分别是A₁B₁,BB₁的中点,则A₁D与MN所成角的余弦值是 __________.

  11．在长方体ABCD－A₁B₁C₁D₁中，AB＝BC＝3，AA₁＝4．求异面直线A₁B和AD₁所成的角的大小．

  12．在正方体ABCD－A₁B₁C₁D₁中，E、F分别为BB₁、CC₁的中点，求AE、BF所成的角的余弦值．

  13．设空间四边形ABCD，E、F、G、H分别是AC、BC、DB、DA的中点，若AB=12，CD=4，且四边形EFGH的面积为12，求AB和CD所成的角.

  14．已知空间四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA=DB=AC, M、N分别为BC、AD的中点。求AM与CN所成的角的余弦值.

  15．在空间四边形ABCD中，点E、F分别是BC、AD上的点，已知AB=4，CD=20，EF=7，求异面直线AB与CD所成的角.

  16．在空间四边形ABCD中,AD=2,BC=1,AD,BC成角.M,N分别为AB,CD中点.求线段MN的长.空间四边形 ABCD的四条边和两条对角线AC、BD的长均为2，E是AD中点，

  ⑴ 求异面直线BE和CD所成的角的大小．

  ⑵ 若F是BC的中点，求异面直线AF与CE所成的角的余弦值．