截弦直线方程的求法

撰文/大罕

若直线与圆锥曲线有两个交点，则两交点的线段称为圆锥曲线的弦，这条直线称为截弦直线.

截弦直线的求法，一般来说有三种类型.

类型一：已知圆锥曲线，已知直线的斜率和弦中点的横坐标.

例1 斜率为1的直线L与双曲线2x²-y²=1相交于A、B两点，又AB中点的横坐标为1，求直线L的方程.

    分析：设直线L的方程为 y=x+m，代入双曲线方程，

       消去y，得到关于x的方程，

       此方程的两根x₁,x₂就是弦的端点P,Q的横坐标，

       由韦达定理和PQ中点的横坐标为1，可知x₁+x₂＝2，

       从而求出m值.

    此法为韦达定理法.

    类型二：已知圆锥曲线，已知直线过某点，且此点为弦的中点.

    例2 曲线2x²－y²=2，过点A(1,2)的直线L与双曲线交于P,Q两点，且点A为弦PQ的中点，求直线L的方程．

    分析：设P(x₁,y₁),Q(x₂,y₂)，

       则2x₁²－y₁²=2，2x₂²－y₂²=2，

      两式相减，经整理可得

      (y₁-y₂)/(x₂-x₂)=2 (x₂+x₂)/(y₁+y₂),

    上式的左端是直线L的斜率，右端则是中点A的横、纵坐标的2倍，

    从而斜率可求得.

    此法称为点差法.

    类型三：已知圆锥曲线，已知过某点的直线截得的弦长。

    直线L过点M(0,1)，交椭圆3x²+4y²=12于P,Q两点，|PQ|=24/7，求L的方程．

    分析：设直线L的方程为 y=kx+1，代入椭圆方程，

       消去y，得到关于x的方程，

       此方程的两根x₁,x₂就是弦的端点A、B的横坐标，

       由韦达定理，求出|x₁－x₂|，再由弦长公式|PQ|＝|x₁－x₂|√(1+k²)，

       列出方程|x₁－x₂|√(1+k²)＝24/7，解得k=±1 .

    此法称为弦长公式法.

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