归纳规律，细心演算

——2009年上海市春考数学第19题讲评

撰文王方汉（大罕）

     内容提要

     本题是一道解析几何背景下的数列问题，要求学生利用斜率证明三点不共线，用归纳法找出等差数列的通项公式并求和，以及运用曲线上的点的坐标满足曲线方程求出相关字母之间的关系式.

     本题有三个小题，由具体到抽象、由浅入深、由简到繁，要求学生具有较强的运算能力，能驾驭多个字母进行变换.

     第⑶小题解法一中，将顶点A_n的横、纵坐标分别表达为关于n的多项式，降幂排列之.这是最容易想到的方法.为使该点在曲线上，故得到一个关于n的等式，再利用待定系数法找出a与d的关系.

     解法二中，在表示顶点A_n的横、纵坐标时，故意保留n-1作为一个整体，继而消去它.整体代换法是一种解题技巧，能适时运用这一方法是解题能力强的表现.

     解法三采用了先特殊再一般的方式，设A₁、A₂两点确定抛物线的方程，然后验证A_n点也在抛物线上.这是很聪明的办法，回避了繁难的运算.