数列与数阵

撰文/大罕

    按一定次序排列的一组数称为数列.把若干个数按一定次序排成一个阵，则称为数阵.

    有的数列问题，若将它改排为数阵，解决起来就很方便.

    例1 求数列{a_n}：1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,…的第100项.

    解：将数列排成如下形式：

       1

       2 2

       3 3 3

       4 4 4 4

       …

    此为宝塔形的三角形数阵.

    我们考查每一行的最后一个数,发现有如下规律：

    第1行最后一个数是1，它是数列{an}的第1项，

    第2行最后一个数是2，它是数列{an}的第1+2项，

    第3行最后一个数是3，它是数列{an}的第1+2+3项，

    第4行最后一个数是4，它是数列{an}的第1+2+3+4项，

    …

    照此规律，第n行最后一个数是n，它是数列{an}的第1+2+3+4+…+n项.

   下面来试探：令n=16，则有第13行最后一个数是13，它是数列{an}的第1+2+3+4+…+13＝91项，由此可知，数列{an}的第100项必在数阵的第14行，于是{an}的第100项为14.

    把数列改写成数阵形式，其规律性昭然若揭，可见这确为一个好的办法。用此法可以轻松地解决以下问题：

    例2 数列{a_n}：1,1/2,1/2.1/3,1/3,1/3,1/4,1/4.1/4,1/4,…的前100项的和等于（   ）.

    例3 已知整数对的数列如下：(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(2,2),(3,1),(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),(1,5),(2,4),…，则第60个数对是

     A．  （3，8）       B． （4，7）    C．   （4，8）     D．（5，7）

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