结构合理的形式，解题成功的捷径

大罕教学札记之5

    我们知道，等比数列的前n项和的公式为

      S_n=a₁(1-qⁿ)/(1-q)   (q≠1).           ⑴

    注意此公式的形式，教材和许多参考书中都是这样写的。事实上，如果将它写成如下形式，会有一些好处：

      S_n=[a₁/(1-q) ](1-qⁿ)  (q≠1).         ⑵

    在推导无穷递缩等比数列的极限公式时，由公式⑵立即可得.

    许多关于等比数列的计算题，如用公式⑵，会显得比较方便.

    例设正项等比数列{a_n}的首项a₁＝1/2，公比非1，前n项和为S_n，且2¹⁰S₃₀ –(2¹⁰+1)S₂₀+ S₁₀ =0,   

       ⑴求{a_n}的通项；

       ⑵求{nS_n}的前n项和T_n．

    教学经验证明，学生如果用公式⑴解此题，往往会陷入困境，被繁多的数字和字母弄得眼花缭乱，看不清下一步化简的方向。而改用公式⑵，会出现如下良性的局面：

       2¹⁰[a₁/(1-q)](1-q³⁰)–(2¹⁰+1)[a₁/(1-q)](1-q²⁰)+[a₁/(1-q)](1-q¹⁰) =0.

    容易看到，等式左边各项均有相同的因子a₁/(1-q)，从而被约去，于是得到：

       2¹⁰(1-q³⁰) –(2¹⁰+1) (1-q²⁰) + (1-q¹⁰) =0，

    按q的降幂排列，得

       2¹⁰q³⁰ –(2¹⁰+1) q²⁰+ q¹⁰＝0，

    进一步，约去q¹⁰，得

       2¹⁰q²⁰ –(2¹⁰+1) q¹⁰+ 1＝0，

    从而解得  q＝1/2 ,

       ∴  a_n＝(1/2)ⁿ.

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