三垂线定理：“掉下来，踢一脚，连起来”

——大罕教学札记之二

撰文/大罕

    三垂线定理在立体几何中的应用非常广泛．

    什么是三垂线定理呢？平面的一条直线垂直于斜线在平面内的射影，那么它垂直于这条斜线．

    三垂线定理实质上是直线与平面垂直的判定定理与性质定理的浓缩版．

    如何让学生牢固地记住三垂线定理？我把定理归结为三句话：掉下来，踢一脚，连起来．

    这三句话，颇为生动，学生乐意接受，便于运用．我的目的也就达到了．

    不过，要理解这三句话，先要接受这样一个事实．在三垂线定理中，必须涉及到一面和四线．一面是指依托平面，四线是指内线（平面内一条直线，以下同）、斜线，垂线和射影．四线都是针对一面（依托平面）而言的。可见，依托平面如此地重要．

    当依托平面呈水平状时，这是标准的情形．难点在于，当依托平面非水平状而呈现“怪异”姿态时．

    所谓“掉下来”，是指在斜线a上取一点P，过点P向依托平面α作垂线PP′；

    所谓“踢一脚”，是指过“掉下来”时的垂足P′向内线a作垂线P′H；

    所谓“连起来”，是指把“踢一脚”时的垂足H与斜线上取的点P连起来．

    结论：内线a垂直于斜线b．

    这是三垂线定理么？正是．不信你审视一遍．

    三垂线的应用：

    1.证明两条异面直线垂直．

    证明时，必须把其中一条直线看成是某一个平面的内线，这个平面就是依托平面啊！例子太多，这里不举了．

    2.求空间一点到平面内一条直线的距离．

    例如在上图中，求点P到平面α内的直线a的距离．照道理，过点P直接向直线a作垂线，垂线段PH即为所求．为什么要用三垂线定理呢？这不是舍近求远么？

    不是啊，哪有这么傻的？！掉下来，再踢一脚，然后连起来，就可以得到了一个三角形，直角三角形啊，就便于计算了．

    3.确定二面角的平面角．

    确定二面角的平面角，方法有多种，例如连线法（适用于特殊情形），垂面法（过二面角内一点作其平面角），“就一再就二”法（另文专论）等．过二面角的一个面内一点作其二面角，这样的问题最为多见．这时，三垂法（利用三垂线定理的方法）就大显神通了！

    不信，拭目以待，看如下一个例子。

    例：在直三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，AA₁＝AC＝√2AB，又2AB＝BC，设D为BB₁的中点．求二面角A₁－AD－C₁的大小．

    确定二面角的平面角时，首当其冲的是确认棱，二面角A₁－AD－C₁的棱是AD，是指平面ADA₁与平面ADC₁所成的角，即侧面AA₁B₁B与平面ADC₁所成的角．点C₁在面ADC₁内，那么面AA₁B₁B就是依托平面了．

    首先是“掉下来”：过点C₁向面AA₁B₁B垂线。因为面AA₁B₁B⊥面ADC₁，所以，垂线的垂足就是点B₁（见图a）_；

    其次是“踢一脚”：过点B₁向棱AD作垂线。不妨设AB＝1，则BB₁＝√2，参见图（b），则过点B₁向棱AD作垂线就是向棱AD的延长线作垂线，设垂足为点F；

    然后是“连起来”：连接FC₁．

    则∠B₁FC₁就是二面角A₁－AD－C₁的平面角．

    于是不难算得∠B₁FC₁＝60°．

（郭美美：任我行）