2008年全国普通高等学校招生统一考试
上海数学试卷（理工农医类）及答案

1.不等式|x-1|<1的解集是　 　　　

2.若集合A={x|x≤2}、B={x｜x≥a}满足A∩B={2}，则实数a=　　　　.

3.若复数z满足z=i(2-z) (i是虚数单位)，则z=　　　　.

4.若函数f(x)的反函数为f-1(x)=x²(x＞0),则f(4)= 　　　　.

5.若向量a、b满足|a|=1，| b |=2，且a与b的夹角为π/3，则|a+b|=　　　　.

6.函数f(x)= √3sinx+sin(π/2+x)的最大值是　　　　　　.

7.在平面直角坐标系中，从六个点：A(0，0)、B（2,0）、C（1,1）、D(0,2)、E(2,2)、F(3,3)中任取三个，这三点能构成三角形的概率是　　　　（结果用分数表示）.

8.设函数f(x)是定义在R上的奇函数.若当x∈(0,+∞)时，f(x)=lgx，则满足f(x)＞0的x的取值范围是　　　

9.已知总体的各个体的值由小到大依次为2，3，3，7，a，b，12，13.7，18. 3，20，且总体的中位数为10.5. 若要使该总体的方差最小，则a、b的取值分别是　 　.

10.某海域内有一孤岛.岛四周的海平面（视为平面）上有一浅水区（含边界），其边界是长轴长为2a、短轴长为2b的椭圆.已知岛上甲、乙导航灯的海拔高度分别为h₁、h₂，且两个导航灯在海平面上的投岸恰好落在椭圆的两个焦点上.现有船只经过该海域（船只的大小忽略不计），在船上测得甲、乙导航灯的仰角分别为θ₁、θ₂，那么船只已进入该浅水区的判别条件是　　　　　　

11.方程x²+√2x-1＝0的解可视为函数y=x+√2的图像与函数y＝1/x的图像交点的横坐标.若方程x⁴+ax-4=0的各个实根x₁, x₂,…，x_k（k≤4）所对应的点(x_i,4/x₁)（i=1,2,…，k）均在直线y＝x的同侧，则实数a的取值范围是　　　　　　.

12.组合数C(n:r)(n>r≥1,n,r∈Z）恒等于（　　　）

（A）(r+1)C(n-1:r-1)/(n+1) (B) (n+1)(r+1)C(n-1:r-1) (C) nrC(n-1:r-1) (D) nC(n-1:r-1)/r.

13.给定空间中的直线l及平面α.条件“直线l与平面α内无数条直线都垂直”是“直线l与平面α垂直”的（　　　）条件.

（A）充要.　　　（B）充分不必要（C）必要非充分　（D）既非充分又非必要

14.若数列｛a_n｝是首项为l，公比为a-3/2的无穷等比数列，且｛a_n｝各项的和为a，则Ar 值是（　　　）

（A）1. (B)2. (C)1/2 (D)5/4

15.如图，在平面直角坐标系中，Ω是一个与x轴的正半轴、y轴的正半轴分别相切于点C、D的定圆所围成的区域（含边界），A、B、C、D是被圆的四等分点.若点P（x，y）、点P′(x′，y′)满足x x′且y y′，则称P优于P′.如果Ω中的点O满足，不存在Ω中的其它点优于Q，那么所有这样的点Q组成的集合是劣弧（　）

（A）AB （B）BC （C）CD （D）DA

16.如图，在棱长为2的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E是BC₁的中点.求直线DE与平面ABCD所成角的大小（结果用反三角函数值表示）.

17.如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB.小区的两个出入口设置在点A及点C处，且小区里有一条平行于BO的小路CD.已知某人从C沿CD走到D用了10分钟，从D沿DA走到A用了6分钟.若此人步行的速度为每分钟50米，求该扇形的半径OA的长（精确到1米）

18.已知函数f(x)=sin2x,g(x)=cos(2x+π/6),直线x=t(t∈R)与函数f(x)、g(x)的图像分别交于M、N两点.

⑴当t=π/4时，求|MN|的值；

⑵求｜MN｜在t∈[0,π/2]时的最大值.

19.已知函数f(x)=2^x-2^-|x|，

⑴若f(x)＝2，求x的值；

⑵若2^tf(2t)+mf(t)≥0对于t∈[1,2]恒成立，求实数m的取值范围.

20.设P（a,b）（b≠0）是平面直角坐标系xOy中的点，l是经过原点与点（1，b）的直线，记Q是直线l与抛物线x²=2py（p≠0）的异于原点的交点.

⑴已知a=1,b=2,p=2.求点Q的坐标；

⑵已知点P（a,b）（ab≠0）在椭圆x²/4+y²=1上，p=1/2ab,求证：点Q落在双曲线4x²-4y²=1上；

⑶已知动点P（a,b）满足ab≠0，p=1/2ab，若点Q始终落在一条关于x轴对称的抛物线上，试问动点P的轨迹落在哪条双曲线上，并说明理由.

21.已知以a₁为首项的数列{a_n}满足:a_n+1= a_n+c(a_n<3)，或a_n+1= a_n/d(a_n≥3).

(1)当a₁=1，c=1,d=3，求数列{a_n}的通项公式；

⑵当0＜a₁＜1，c=1,d=3时，试用a₁表示数列{a_n}前100项的和S₁₀₀；

⑶当0＜a₁＜1/m（m是正整数），c=1/m，d≥3m时，求证：数列a₂-1/m，a_3m+2-1/m,a_6m+2-1/m,a_9m+2-1/m成等比数列，当且仅当d=3m时.

参考答案

1. (0,2); 2. 2; 3. 1+i; 4. 2; 5. √7; 6. 2; 7.3/4 ; 8. (－1,0)∪(1,+∞); 9. 10.5和10.5;10. h₁cotθ₁+ h₂cotθ₂≤2a； 11. (－∞, －6)∪(6,+∞); 12. D 13.C 14.B 15.D; 16. arctan; 17. 445; 18. ⑴3/2, ⑵;19. ⑴log₂(+1), ⑵[－5,+∞); 20. ⑴Q(8,16), ⑶反比例函数图像(双曲线);21. ⑴略 ⑵ a₁(9－7/3³³)/2＋199