上海市数学高考压轴题研究——解析几何

撰文/大罕

    上海市高考系独立命题，试题有别于全国卷。大罕现身居上海市，与上海教育息息相关，有必要研究其高考题。压轴题，作为高端的数学问题，它的特点、深度、广度及走向等，是本文研究的重点。我们的视野，放在2002年至今的历届高考题上。

    一、命题范围比全国卷狭窄，容易做到“火力”集中。

    上海教材中对圆锥曲线的性质作了简化处理，省去了一些概念，例如统一定义（第二定义）、离心率和有心曲线的准线，内容少了，出题的范围集中了----曲线方程的求出，基本性质，及直线与曲线的位置关系，例如弦长，交点个数的讨论，等。这一特点，让应试的师生容易捕捉到题型，同时，势必让命题者不得不十分慎重地把握问题的难度。

    例1.(03年理科第21题)在以O为原点的直角坐标系中，点A(4,-3)为△OAB的直角顶点，已知|AB|=2|OA|，且点B的纵坐标大于零.

     ⑴求向量AB的坐标；

     ⑵求圆关于直线OB对称的圆的方程；

     ⑶是否存在实数a，使抛物线上总有关于直线OB对称的两个点？若不存在，说明理由：若存在，求a的取值范围.

    二、试题一般采用三问制，第一问重在基础，第二问重在灵活，第三问重在发散思维。这样的制式，四平八稳，从专家到应试师生均无可挑剔。压轴题设计成阶梯式，这也告诉我们，摆在学生面前的并非一座不可愈越的突兀的山峰，而是一个诱你渐入佳境的连环套。

    例2.(05年文科第21题) 已知抛物线y²=2px(p>0)的焦点为F，A是抛物线上横坐标为4、且位于x轴上方的点，A到抛物线准线的距离等于5。过A作AB垂直于y轴，垂足为B，OB的中点为M。

     ⑴求抛物线方程；

     ⑵过M作MN⊥FA，垂足为N，求点N的坐标；

     ⑶以M为圆心，MB为半径作圆M，当K(m,0)是x轴上一动点时，讨论直线AK与圆M的位置关系。

    三、上海“十一五”国民经济发展规划的清晰主线是提高城市的国际竞争力，其根本途径是科学创新，这一战略思想在数学高考题中也得到了体现。与全国卷明显区别的地方在于，上海的试题中经常出现创新题型或新颖内涵的题，无论题目是否贴切，但会朝着这一方向走下去。作为教师，切莫固步自封、夜郎自大，要学会创新和开拓，以适应新形势，新要求。

    例3 （07年理科第21题）我们把由半椭圆x²/a²+y²/b²=1(x≥0)与半椭圆x²/b²+y²/c²=1(x≤0)合成的曲线称作“果圆”，其中a²=b²+c²,a>0,b>c>0，

如图，设点F₀,F₁,F₂是相应椭圆的焦点，A₁,A₂和B₁,B₂是“果圆” 与 x,y 轴的交点，M是线段A₁A₂的中点．

    （1）若△F₀F₁F₂是边长为1的等边三角形，求该“果圆”的方程；

    （2）设P是“果圆”的半椭圆x²/b²+y²/c²=1(x≤0)上任意一点．求证：当|PM|取得最小值时，P在点A₁,A₂或B₁处；

    （3）若P是“果圆”上任意一点，求|PM|取得最小值时点P的横坐标．

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