对一份高三数学试卷中的错因的分析

撰文/大罕

这是一份高三上学期期末考试数学(文科)试卷.应试者是上海某区重点高中的学生.她的成绩居于中下水平.试卷满分100分,所得分数为69分.

下面我们仔细看看,错误的原因何在.

1.函数f(x)=1-x²(x<0)的反函数是
错因:原函数的值域出错

2.过直线3x+2y-7=0与直线4x-y-2=0的交点,且与直线2x-y+3=0垂直的直线方程为
错因:粗心大意

3.若函数f(x)=3sin2x-4cos2x=化为f(x)=Acos(wx+φ)的形式,则φ可用反正切函数值表示为φ=
错因:对变形过程的真正含义模糊所致.

4.已知全集I={n|n≤200,nZ*}, 若集合A={n|n=3k,k∈Z*,n∈I},B={n|n=5k,k∈Z*,n∈I},则集合A∪B的补集所含有的元素个数为
错因:被似是而非的现象迷惑.

5.现行银行三年期定期储蓄存款年利率为5.40%，某人用10万元连存两期此类储蓄，若假定利率保持不变，则六年到期时此人所得的本利和最多为（精确到1分）
错因:对利率问题的恐慌症.

6.有下列命题:
①函数y=tanx是递增函数;
②函数y=sinx在第一象限内是递增函数
③函数y=cosx的递增区间[2kπ-π/2,2kπ+π/2](k∈Z)是
其中真命题的个数为
A1个 B2个 C3个 D0个
错因:对函数的单调性缺乏深刻的认识,以及对正弦余弦及正切函数不够熟悉.

7.若有数列{a_n},{b_n},则lima_n(n-∞) 和limb_n(n-∞)分别存在是lim(a_n/b_n)(n-∞) 存在的
A充分条件 B必要条件 C充要条件 D非充分且非必要条件
错因:概念模糊.

8.若曲线C的方程不是F(x,y)=0,则曲线C上
A 任意一点的坐标都不满足方程
B 存在无数个点,它们的坐标都不满足方程F(x,y)=0;
C 至少存在一点,其坐标不满足方程F(x,y)=0;
D 任意一点的坐标有可能都满足方程F(x,y)=0.
错因:对方程的曲线与曲线的方程没有真正理解.

9.⑴已知椭圆C,x²/a²+y²/b²=1(a>b>0),F₁ (c,0)为C的一个焦点,P(x,y)为C上任意一点,l=|PF₁|, 试写出l关于点P的横坐标x的函数解析式l=f(x), 并求证:当l取最大值和最小值时,点P(x,y)分别位于椭圆长轴的两个端点;
⑵2007年11月5日,中国嫦娥一号卫星成功实现第一次近月制动,卫星进入距月球表面近月点高度约为210公里,远月点高度约为8600公里,且以月球的球心为一个焦点的椭圆形轨道.已知月球半径约3475公里, 试利用⑴的结论求卫星航行轨道的轨迹方程.
错因:不善于利用椭圆定义来思考与解决问题.
解答：⑴ 椭圆上任一点到焦点的距离，称为焦半径。上海教材对于离心率、准线等概念予以省略，失去了证明焦半径公式的简捷方法。那么，我们就采用两点距离公式以及点在曲线上，计算出结果。把y=b√(a²-x²)/a 代入l=|PF₁|=√[(x-c)²+y²]，化简，可得到l=a-cx/a. 因为-a≤x≤a，而函数l=a-cx/a是减函数，所以当x＝-a时l取最大值，当x＝a时取得最小值，此时点P(x,y)分别位于椭圆长轴的两个端点.
⑵以轨道中心O为原点，以过轨道中心O和月球圆圆心F的直线为x轴，建立直角坐标系，以下就可以求出椭圆的长半轴和短半轴长，卫星的轨迹方程就可求出。

10.已知曲线C的方程为:y⁴=(x²-1)²
⑴试指出方程所表示的是怎样的曲线,并在所给的平面直角坐标系中作出该曲线的大致图像;
⑵试就实数的不同取值,讨论直线l,y=kx-2与曲线的交点的个数.
错因:不会利用方程的性质来讨论几何图形的形状.

分析与诊断:

1. 加强对函数的性质(单调性、奇偶性、周期性)与图像的复习。
2．加强对概念（极限）的理解.
3．选填题失分过多。
4．在综合题面前不可一筹莫展。