上海2006年数学高考理科第11题赏析
王方汉（大罕）

    图形的拼合，是中学数学里常见的题型。如何让题目出新意放异彩，对出题人是一个严峻的考验。上海2006年数学高考理科第11题，给我们一个满意的答卷。请看：

   【题目】有两个相同的直三棱柱，高为2/a，底面三角形的三边长分别为3a,4a,5a(a>0)。用它们拼成一个三棱柱或四棱柱，在所有可能的情形中，全面积最小的是一个四棱柱，则a的取值范围是__________．

   【赏析】
    直三棱柱有三个侧面，二个底面。本题中，三棱柱的底面是直角三角形，边长为3a,4a,5a，面积是6a2，，是变量。由于高为2/a，所以三个侧面的面积都是定值，分别为6、8、10。如上给出数量，可以简化计算，让答题人集中精力进行思考。此番设计，用心良苦，值得称道。

    用两个相同的直三棱柱拼合，可以拼成一个直三棱柱，也可以拼成一个直四棱柱。你能想象出来吗？这不分明是考查空间想象能力么？

    怎么拼合？把对应侧面拼合，把底面对应拼合，有两类办法。分类考虑问题，是思维具有逻辑性的表现，这是一种数学能力。

    第一种情形，把两个直三棱柱的某一组对应侧面“横向”拼合起来，可以“顺着拼”也可以“反着拼”，有两种可能，如图1所示。

    用一边长为3a的侧面相拼合，可以得到三棱柱也可以得到四棱柱（图1-1），

    用一边长为4a的侧面相拼合，可以得到三棱柱也可以得到四棱柱（图1-2），

    用一边长为5a的侧面相拼合，可以得到两种不同的四棱柱（图1-3），

    第二类办法，把两个直三棱柱的底面“纵向”对应地拼合起来，则只有一种可能，如图2所示。

    在扑朔迷离的拼合中，能够从容对待，抓住实质，不仅需要发散思维，而且需要聚合思维。

    在第一类办法中，不难发现，拼合后的直三棱柱或直四棱柱的全面积，都是两个直三棱柱的全面积之和减去拼合面面积的两倍，

    因为一个直三棱柱的全面积是2(3a+4a+5a)/a+3a×4a=24+12a2，所以两个直三棱柱的全面积之和为48+24a2

    拼成的三棱柱或四棱柱的全面积，分别有如下三种情形：
    第一种情形：用一边长为3a的侧面相拼合，其全面积为36+24a2；
    第二种情形：用一边长为4a的侧面相拼合，其全面积为32+24a2；
    第三种情形：用一边长为5a的侧面相拼合，其全面积为28+24a2，
    其中，全面积最小的三棱柱或四棱柱，显然是第三种情形。

    如果更聪明一点就可以这样想：拼合面面积最大的情形，就是拼合后全面积最小的情形，从而可知第三种情形的全面积是最小的了。

    原来，无论是三棱柱还是四棱柱，在同一种情形下，全面积是一样的。“三棱柱或四棱柱”这个断语实际上起到了相当大的迷惑作用。事实上，一些考生望而生畏，就此却步。

    在第二类办法中，将底面相拼合，得到的只能是直三棱柱，也就是

    第四种情形：用两个底面相拼全的直三棱棱的全面积为48+12a2

    以上工作属于弄清题意阶段，下面就要正视问题了。注意问题的条件：“用它们拼成一个三棱柱或四棱柱，在所有可能的情形中，全面积最小的是一个四棱柱”。既然全面积最小的是一个四棱柱，而第一类办法中既有三棱柱又有四棱柱，但我们只能考虑四棱柱即第三种情形了。

    而第四种情形呢？很可惜，它拼成的只能是三棱柱，应在排除之列。虽如此，它并非可有可无。不是吗？本题要求的是全面积最小的四棱柱，如果第四种情形的三棱柱，其全面积比第三种情形的全面积要大，岂不坏了大事？于是，就要求第三种情形的四棱柱的全面积一定要小于第四种情形的三棱柱的全面积。怎么办？列一个不等式嘛！
    48+24a2<48+12a2,
    解之得 a2<5/3，
    又因为a>0，
    所以0

    纵观本题，第一类办法中的三棱柱和四棱柱的全面积是一致的，不予分别考虑，此谓“似是而非”；第二类办法中的三棱柱虽属排除之列但因参入比较而必不可少，此谓“似非而是”。哈哈，真有趣，似是而非，似非而是，此乃神来之笔也，不能不令人叹服！

    从形象思维到逻辑分类，再到精细思辨，可谓一波三折，环环相扣，直到“逼上梁山”，得出不等式，终于拨开乌云，重见阳光。作为第一大题的压轴题，出题者煞费苦心，考倒了昏昏然的套公式者，让智勇双全的考生脱颖而出。

    这正是：
    两个棱柱拼图形，
    说三道四有陷阱。
    面积最小何所是，
    一番比较终分清。