国内平面闭折线研究综述

(全国第四届初等数学学术交流会上的报告 2000年8月于首都师范大学)

王方汉(大罕)

§1 历史的回顾

自从欧几里得的伟大著作《原本》问世以来，初等几何已历经二千多年。后人虽不断充实其内容，但对折线形的研究，大体上仅限于多边形，始终没有把"一般平面折线"作为深入研究的对象。

十八世纪以后，人们或许是受台球运行轨道的启示，开始用数学的眼光，考察质点在圆或凸域内撞击边界所产生的折线轨道所蕴含的数学规律，得到了一些有益的结论，诸如著名的雅可比定理。此后经过几代数学家的工作，建立了一套关于质点碰撞的数学理论[1]。但是，在这些研究活动中，"一般平面折线"仍然没有正式成为深入研究的对象。

1951年1月，我国著名的数学教育家傅种孙先生发表了《从五角星谈起》[2]的精彩演讲，开了星形研究的先河。1958年,《有向图形的面积计算》[3]一书在我国翻译出版。1983年，国内有几篇文章探索了星形的计数[4]、特殊折线的顶角和问题[5]。这些表明国内数学工作者已经开始注视平面折线这一几何图形。

1991年，杨之先生发表了《折线基本性质初探》一文，正式提出了对折线进行理论研究的课题，并在他著名的《初等数学研究的问题与课题》一书中专辟一章加以阐明。在他的创导下，短短的几年内，国内关注这一研究课题的学者开始增多，新的研究成果不断涌现。其中不乏较为深刻、有突破性进展的成果。1996年，“中国折线研究小组”正式成立(牵头人熊曾润和王方汉)，这标志着我国对折线研究进入了一个新的阶段。

§2 关于平面折线的构造特征

一、平面闭折线的折性问题

杨之注意到折线的边的折性问题，引进了“单折边”、“双折边”概念。

一动点沿着闭折线的边行走，若经过顶点A时向左拐，则称A为左折点，否则称A为右折点。若从两个方向通过边AB的两个端点时，一个端点是左折点，另一个端点是右折点，（或者说，从两个方向通过边AB的两个端点时都是向左（右）拐），则称AB为单折边，否则称为双折边。若双折边AB的两个端点都是左折点，则称AB边为左旋边；若双折边AB的两个端点都是右折点，则称AB边为右旋边。

下面的定理1提示了闭折线的最基本的一个结构特征。它是由杨之发现并在[6]文中证明的。

定理1：闭折线如果有双折边，则有偶数条，左右旋边各半且相间排列。

定理2：多边形为凸多边形的充要条件是其所有的边都是单折边。

王方汉引进了折性数ξ（ξ=±1）以刻画有向闭折线的折性[7]：把左折点的折性记为ξ=1，称之为正顶点，把右折点的折性记为ξ= -1，称之为负顶点；又把n边有向闭折线A1A2A3…An各个项点的折性数写成一个有序数组（ξ1,ξ2,ξ3,…,ξn），则称（ξ1,ξ2,ξ3,…,ξn）为折性数组。对于任意给定的n边闭折线（无论它多么“复杂”以及是否自交），给它一个起点和行走方向，都有唯一的n元折性数组与之对应。

[8]文提出了有向简单闭折线的种类数问题：规定折性数组相等的n边有向简单闭折线是同型折线，把同型的有向闭折线算作一种，不同型的有向闭折线的种类数记为σ(n)．换言之，所谓有向简单闭折线的种类数σ(n)，就是从集合｛有向简单闭折线｝到集合｛折性数组｝的映射中象集合的元素的个数，并猜测：n2/32≤σ(n) ≤n2/4.

姚勇针对上述猜测，利用组合数学中的圆排列数公式推出了σ(n)的计算公式如下[9]：

σ(n)＝(1/n) ∑[d|n] φ(d)-2n/2-[n/2]-2 ,

其中φ(d)为欧拉函数，∑[d|n]表示对n的所有因数求和．由此他还得到：

①当n≥3时,σ(n)≥n2/32；②当3≤n≤12时，σ(n) ＜n2/4；③当n≥13时, σ(n)≥n2/4.

二、平面折线的顶角、折角、环数问题

定义1：①平面折线在顶点Ai处的劣角，称为折线在顶点Ai处的顶角，记为βi ；

②顶角βi与该顶点的折性数ξi之积βiξi，称为有向折线在顶点Ai处的有向顶角，记为θi ；

③顶角βi的补角π-βi与折线数ξi之积ξi(π-βi)，称为有向折线在顶点Ai处的有向折角，记为φi .

环数是平面折线的一个十分重要的结构特征,它是信息衡量”复杂”程度的一项重要指标.对此,王方汉在《平面折线的环数》[10]这一重要文章中给出了如下定义:

定义2:n边有向平面折线的所有折角φi(n=1,2,3,…,n)之和除以2π的商,称为这条有向折线的环数.记为

t(n)=(1/2π)∑[1≤k≤n]φ(k).

定义3http://forum.cnool.net/images/emote/frown.gif无向)折线的环数等于相应的有向平面折线环数的绝对值,记为|t(n)|,即

|t(n)|=|(1/2π)∑[1≤k≤n]φ(n)|.

这里要指出的是,上述关于平面折线(有向的或无向的)环数定义,不仅适用于平面闭折线,还适用于平面开折线,也就是说,有向平面折线的环数t可以取一切实数.平面折线环数的上述定义也为定义平面闭曲线的环数铺平了道路.任何平面闭折线都可以通过平面拓朴变换变为平面闭曲线.我们就用平面曲折线的拓朴原象(即平面闭折线)的环数来定义平面闭曲线的环数.

平面折线环数的求法,可用变换分离法、直接分离法[11]和拓朴法[12].

由平面折线环数的定义,文[13]推出了n边平面折线的有向顶角之和的计算公式,即

定理3:设βi是n边平面折线A1A2A3…An的有向顶角, ∑βi表示所有的有向顶角之和,则

∑βi=(m-2t)π.

其中t是环数, m=∑[1≤i≤n]ξi ,即是所有顶点的折性数之和.

对于n边无向平面闭折线而言,环数的最小值显然为0,那么.那么环数最大值是多少呢?杨之在《双折数、自交数与环数》[14]中玫剑?

定理4：n边无向平面闭折线的最大环数为

|t(n)|max =[(n-1)/2],

其中[x]表示不大于x的最大整数.

三、平面闭折线的自交数问题

n边平面折线的不相邻两边的交点称为自交点.自交点的个数称为自交数,记为z(n).

n边平面闭折线自交数也是衡量折线”复杂”程度的一个重要指标.

林六十[15]、杨林[16]和王方汉[17]分别证明了

定理5: n边平面闭折线自交数的最大值为

z(n)max=n(n-1)/2 (当n为奇数时)

z(n)max=[n(n-4)/2]+1 (当n为偶数时)

王方汉还在[17]文给出了自交数达到最大值时的模型，这就是单向极位星形和双折边对称星形。

杨之通过构图，细致地考查了闭折线的演化规律后，提出了关于自交数的一个猜想[18]：不存在自交数为4的5边闭折线和自交数为13的7边闭折线.

关于两条闭折线交点个数的最大值,姚勇指出:

定理6:边数为m、n且无公共边的两条闭折线 ,它们交点个数z(m,n)的最大值为[19]

z(m,n)max =mn (当m,n均为偶数时)

z(m,n)max =m(n-1) (当m为偶数,n为奇数时)

z(m,n)max =mn (当m,n均为奇数，mn时)

四、平面闭折线的同侧点问题

熊曾润先生指出：有无同侧点也是衡量平面闭折线“复杂”程度的又一个指标。他在《闭折线的同侧点及其性质》[19]这一重要文章中给出了：

定义4：设M点是闭折线所在平面内的点,动点P沿着折线的各边依次行走,若定点M始终位于动点P行进方向的左(右)侧,则点M称为这条闭折线的左(右)侧点.我们把左(右)侧点统称为同侧点.

定义5:有同侧点的闭折线称为广义闭回形闭折线.若广义回形闭折线的各个顶角均是劣角,则称它为回形闭折线;若广义回形闭折线的各个顶角不全是劣角,则称它为准回形闭折线.

同时该文给出了同侧点的有关性质..

五、平面闭折线的几何变换问题.

平面闭折线的几何变换,这是一个铙有趣味的问题.目前的研究只是浅层次的.文[10]给出了

定义6:折性数组相等的两条闭折线称为同型闭折线.把一条闭折线变成与它同型的闭折线,这种变换称为同型变换.

折性数组相等且折角相等的两条闭折线称为同类闭折线.把一条闭折线变成与它同类的闭折线,这种变换称为同类变换.

定义7:同型闭折线的自交点最小的闭折线称为既简闭折线.拓朴象形状如O的闭折线称为O型闭折线;拓朴象形状如∞的闭折线称为∞型闭折线;拓朴象形状如回形的闭折线称为环形闭折线.环形闭折线分为多中心和单中心的.

定理7: O型闭折线的环数为1, ∞型闭折线的环数为0,环形闭折线的环数的绝对值|t(n)|max =k+1(t为闭折线的自交数).

定理8: O型闭折线的环数为1, ∞型闭折线的环数为0,环形闭折线都是既简闭折线.

定理9:任何平面闭折线经同类变换后其拓朴原象只能是O型闭折线、 ∞型闭折线、环形闭折线之一种.

定义8:在不改变边的走向的情况下,将有向闭折线从某一自交点处分离成为两条有向闭折线,这种变换称为分离变换.

定义9:在不改变相交性的情况下,把平面闭折线顶点处尖角连结改为弧线连结,把边换成曲线,就得到一条平面闭曲线,这种变换称为折曲拓朴变换.把折曲变换得到的曲线C称为折线L的拓朴象,折线L称为曲线C的拓朴原象.

分离变换在计算闭折线的和研究闭折线的有向面积时得到了应用．折曲变换将闭折线的研究转化成为闭曲线的研究．

六、平面闭折线的分类问题

为了便于对平面闭折线的结构特征和几何性质加以研究，有必要对闭折线进行完全分类。

①　按有无自交点分类，闭折线可分为：简单闭折线（无自交点），非简单闭折线（有自交点）；

②　按边的折性分类，闭折线可分为：单折边闭折线（全由单折边组成），双折边闭折线（全为双折边组成），混折边闭折线（由单、双折边组成）；

③　按有无同侧点分类，闭折线可分为：回形闭折线（有同侧点），非回形闭折线（无同侧点）；

④　按顶点是否在某个凸多边形的顶点上分类：闭折线可分为：星形闭折线（所有顶点是某一个多边形的顶点），非星形闭折线（所有顶点不是任一个多边形的顶点）。

上述分类远非完整，根据研究的需要，今后还要做这项工作。

七、平面闭折线的“可对化”问题

这一问题与日常生活中的装饰图案有关。

文[20]规定：如果不改变诸折线任一条边的折性，而通过适当改变边的长度和顶角的大小能把它画成对称图形的，都叫做可对称化的闭折线。

定理10：对n≥3，凸多边形可对称化．

定理11：n边闭折线可对称化的充要条件是如下之一条件成立：

①它的(s,d)环形排列可从某处断开，成为一个对称的线排列；

②它的(s,d)环形排列可从某两处断开，成为一个各含偶数个的两个对称的线排列．

§3 对星形闭折线和回形闭折线的研究成果

凸多边形是单折边闭折线，凹多边形是非折边闭折线．从前人研究多边形的历史来看，对前者的研究远远超过后者，研究成果也大都是关于凸多边形的．这表明：非单折边闭折线比单折边要＂复杂＂得多，或者说，非单折边闭折线比单折边闭折线更＂难以捉摸＂．

无同侧点的闭折线与有同侧点的闭折线相比，也有类似的情况．无同侧点的闭折线比有同侧点的闭折线要＂复杂＂得多，或者说，无同侧点的闭折线比有同侧点的闭折线更＂难以捉摸＂．

因此，我们似乎有理由认为：当人们研究一般闭折线时，应该先易后难，先从单折边闭折线或有同侧点的闭折线入手．

由于正规星形和正规回形闭折线是一类＂很规则＂的有同侧点的单折边闭折线，我们似乎有理由预测：＂星形研究＂和＂回形折线研究＂将成为人们研究一般闭折线的突破口．从目前国内的研究成果来看，情况的确如此．

一、关于星形折线

定义10:由一个凸多边形的边或对角线组成的平面闭折线，叫做星形折线[6]．

定义11：对于围成一圈的n个点A1，A2，A3，…，An，从点Ai开始，顺次连结每相隔r(1≤r+1≤n/2)个点的两点作成一条线段，若这条线段构成一条或几条闭折线，则将该闭折线称为生成数为r的n边正规星形，记为Ar(n)．若正规星形由单独一条折线组成，则称它为素星形，简称为星形，若正规星形由几条闭折线组成则称它为合星形．[21]

星形折线的分类如下：

星形折线可分为：正规星形，非正规星形；

正规星形可分为：素星形，合星形．

王方汉对正规星形的结构特征作了深入的研究．他在文[21][22]中得出如下结果：

定理12：（素）星形Ar(n)的存在充要条件是：(n,r+1)=1．

定理13：合星形Ar(n)存在的充要条件是：(n,r+1)=d≠1．

定理14：n边正规星形Ar(n)按生成数不同进行分类共有［(n-２)/2］种，其中（素）星形有(1/2)Φ(n)种，合星形有［(n-２)/2］－(1/2)Φ(n)种，这里[x]表示不大于x的最大整数，Φ(n)是Euler函数．

定理15：设正规星形Ar(n)的环数为t，则t=r+1．

关于星形折线的生成，王方汉在《关于序号数列的遍历性》[23]中给出了一般的代数解释，如下：

定理16：将围成一圈的n个点，按一定方向标上序号：1,2,3,…,n,…，对于给定的一个由非负整数组成的数列Rn-1=(r1,r2,…,rn-1)(数列Rn-1称为生成数列)，按下下映射关系f构成数列Bn=(b1=1,b2,…,bn)：

f：rj-1→bj=1+∑[1≤i≤j-1]ri (j=2,3,…n)

连队接序号为的点能组成星形折线的充要条件是：序号数列具有遍历性，即序号数列的各项被除的余数恰恰是0,1,2,3,…,n-1的一个全排列．

该文还证明了：

当r是非负整数时，生成数列Rn-1=(r,r,…,r) (1≤r+1≤n/2)对应的星形是正规星形；当n=2p(p∈N,p≥2)时，生成数列Rn-1=((n/2)-1,(n/2)-1,…,n/2,…,(n/2)-1,(n/2) -1)对应的是递进对称星形折线．

徐宁在[24]中利用数论二次同余理论也给出了对上述的一个证明.

黄拔萃在[25]文中证明了：

当n为形如4m-1的素数时，生成数列Rn-1=(1,2,…,(n-1)/2,(n-1)/2, …,2,1)对应的序号数列Bn具有遍历性．这就解决了文[14]的一个猜想．

定义12：连接圆上n个等分点中每相隔r(1≤r+1≤n/2)个点的两个点组成边，所得到的n边正规星形称为边正星形,记为Pr(n).

正星形Pr(n)具有如下性质:

①顶角Ai都相等,且Ai=(n-2r-2)π/2 .

②边长ai都相等,且ai=2Rsin[(r+1)π/n] .

③正星形Pr(n)第j(j=0,1,2,…,r)层自交点构成子星形Pr-j(n),且第j层子星形的边长为[26]:

aj=2R[tan(r-j+1)π/n][cos(r+1)π/n],其中R是正星形所内接的圆的半径.

④正星形Pr(n)的面积为Δ(n)=(1/2)πR2sin[2(r+1)π/n] ,其中R是正星形所内接的圆的半径.

关于正星形的判定，熊曾润和宋方钦在文[27]中得到如下结论：

①若闭折线的各边相等，且有外接圆，则它为正星形.

②若闭折线有同心的外接圆和内切圆，则它为正星形.

③若闭折线有内切圆且切点为各边的中点,则它为正星形.

对于一般星形折线,熊曾润在《圆内接星形的一个优美的度量性质》[28]一文中给出如下结果:

定理17:设一阶(即自交数为1)圆内接星形的顶点为Ai(i=1,2,…,n),它的边AiAi+1与Ai+1A i+3相交于点Bi+1,则

Π[1≤i≤n] BiAi+1/Ai+1Bi+1=1,

且Π[1≤i≤n]AiBi+1/Bi+1Ai+3=1.

定理18:设二阶圆内接星形的顶点为Ai(i=1,2,…,n),它的边AiAi+3与Ai+2Ai+5相交于点B i+2, 边AiAi+3与Ai+1Ai+4相交于点Ci+1,则

Π[1≤i≤n][BiAi+1/Bi+1Ci+1][CiAi+2/Ai+2Bi+2]=1.

且Π[1≤i≤n][ AiBi+2/Bi+2Ai+5][ AiCi+1/Ci+1Ai+4]=1.

有趣的是，文[29]指出，顶点在同一条圆锥曲线上的星形，也有与定理17和18形式上完全一样的结论。

宋方钦给出了关于星形的不等式如下[30]：

定理19：设M点是星形Pr(n)的任一同侧点，角Ai(i=1,2,…,n)是星形的顶角，Δ是其面积，则

①∑[1≤i≤n]MAi2sinAi≥2Δ.

②∑[1≤i≤n]MAi2≥2Δ/sin[2(r+1)π/n].

王方汉在文[31]中定义了星形多边形（又称为齿形）及其内、外齿角的概念，得到了此种多边形的一些有趣的性质：

①星形多边形的边数必为偶数，内外齿角的数目各半且相间排列；

②等角齿形的基多边形是等角多边形；

③m齿等齿齿形的内外齿角顶点可构成正m边形，并且它们有共同的中心；

④正m齿齿形的中心对于相邻两顶点的视角是一个常数，这个常数是π/m；

⑤正2m边形星形的轮廓线是正齿齿形.

二、关于回形闭折线

熊曾润最先注意到回形闭折线因有同侧点而区别于其它类型的闭折线,对回形闭折线进行了深入的研究,将许多著名的关于多边形的定理推广到回形闭折线中,有的甚至推广到一般闭折线中.他在文[19]中给出了:

定理20(维维安尼定理的推广):若回形闭折线的各边或各内角相等,则它的任一同侧点到各边的距离之和为定值.

熊曾润在《广义回形折线的布洛卡点及其性质》[32]一文中推广了布洛卡的概念,得到了布洛卡点存在的充要条件和布洛卡点的有关性质,即

定理21:如果回形闭折线各边的边长,各个顶角均为劣角,那么该闭折线存在布洛卡点的充要条件是

a1/a2sinA2+cotA3= a2/a3sinA3+cotA4=…= an/a1sinA1+cotA2.

定理22:设P为回形闭折线A1A2…An的布洛卡点,θ为布洛卡角, Δ表示面积,P点在直线AiAi+1上的射影为Bi(i=1,2,…,n),则

Δ(B1B2Bn)=sin2θ*Δ(A1A2…An).

1990年波兰华沙大学教授Marci E.Suzan证明了如下命题：

设P为三角形ABC内任一点，记α=∠PAB，β=∠PBC，γ=∠PCA，则

Cotα+cotβ+cotγ≥cotA+cotB+cotC+(sinAsinBsinC) -1/3

连加志将这一命题推广到多边形[34]，熊曾润又将它推广到回形闭折线中，得到了

定理23：设回形闭折线A1A2…An的各顶角Ai(i=1,2,…,n)均为劣角，M点是它的任一同侧点，记θi=∠MAiAi+1，则

∑[1≤i≤n]cotθi≥∑[1≤i≤n]cotAi+n(Π[1≤i≤n] sinAi)-1/n.

熊曾润还考查了有外接圆或内切圆的回形闭折线，得到了一些有意义的结果，例如

定理24：记k环n边回形闭折线为Ank，若回形闭折线Ank有内切圆O，则对于内接于圆O的任何一条回形闭折线Bnk，有（见[36]）

Δ(Bnk) ≤cos2(kπ/n) Δ(Ank)

定理25：设回形闭折线为Ank内接于半径为R的圆，各边长为ai(i=1,2,…,n)，则对于给定的任意正数p，有（见[37]）

①∑[1≤i≤n]1/aip≥n/[2Rsin((r+1)π/n)]p

②∑[1≤i≤n]1/aip≥∑[1≤i≤n]n/[2Rsin((r+1)π/n)]p+(1/n)∑[1≤i≤j≤n](1/ aip/2-1/ ajp/2)2
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§4 关于一般闭折线的度量性质

杨之先生在提出一般平面折线这一研究课题时，基于平面闭折线与多边形区别，所以着重提出“为了从整体上掌握折线形的性质、特征，应当对折线的结构作一般的考查”，这实际上是强调了折线的组合性质和拓朴性质.

熊曾润先生注意到平面闭折线作为一般的平面图形，又提出了不可忽视对其度量性质的研究.

1998年上半年以来，“中国折线研究小组”的成员之间频频通信，畅所欲言，基本上达成了共识.

在上一节中，我们介绍了对两种特殊的平面闭折线（星形折线和回形折线）几何属性的研究成果，相比之下，对一般平面折线度量性质的研究目前还处于起步阶段，但取得的成果仍然令人振奋。

一、闭折线的面积问题

平面闭折线的面积,是闭折线的基本几何属性.也是闭折线研究的重要问题之一.

定义13[39][40]:设n边形A(n)的顶点Ai的直角坐标为(xi,yi)(i=1,2,…,n),它的面积为ΔA(n),并且约定当A1,A2,…,An按逆时针方向进走时,ΔA(n)为正值,反之ΔA(n)为负值,则

ΔA(n)=(1/2)∑[1≤i≤n](xiyi+1-xi+1yi),

于是我们把 ΔA(n)称为n边形A(n)的有向面积.

定义14：设n边闭折线A(n)（无论是否自交）的顶点Ai的直角坐标为(xi,yi) (i=1,2,…,n)，那么式子

(1/2)∑[1≤i≤n](xiyi+1-xi+1yi)

的值，称为闭折线A(n)的有向面积，记作ΔA(n)，或记作ΔA1A2…An，即

ΔA(n)= (1/2)∑[1≤i≤n](xiyi+1-xi+1yi),

其中x n+1,yn+1分别为x 1,y1，且闭折线的行走方式是A1→A2→…→An.

定义15：闭折线Ｌ的有向面积的绝对值称为闭折线Ｌ的面积，记为Δ(Ｌ)，

即Δ(Ｌ)＝｜Δ(Ｌ)｜．

　王方汉在《平面闭折线的有向面积》[41]一文中给出了：

定理27：把闭折线从某自交点处分离，所得两条分离子折线的有向面积之和等于原闭折线的有向面积。

由于n边闭折线的自交数是有限数，且对它分离一次至少减少一个自交点，所以对n边闭折线分离有限次后，总能得到有限个分离子多边形，再结合定理6，就有充足的理由给出有向闭折线的又一个定义，即

定义16：有向闭折线在任意一种方式下所有分离子多边形的有向面积的代数和，称为这条闭折线的有向面积。也就是，若Ｌ=∑[1≤i≤n]Li，则

Δ(Ｌ)= ∑[1≤i≤n]( Δ Li),

其中Li是Ｌ的分离子多边形．

文[41]还给出了计算任意平面闭折线有向面积的＂两边夹角＂和复数的形式：

定理28：设n边有向闭折线A(n)的边ＡiＡi+1=ai，顶点Ａi处的折角为φi (i=1,2,…,n)，则它的有向面积为

ΔA(n)=(1/2)∑[1≤i≤n-2] ∑[i
其中角(ai→aj )表示边ＡiＡi+1到边ＡjＡj+1所成的有向角，且(ai→aj )=φ1+φ2+…+φn．

定理29：在复平面内，闭折线A(n)的有向面积为

ΔA(n)=(1/2)Im∑[1≤i≤n]ＡiＡi+1,

其中大写字母既表示点，也表示相应的复数，Im(Z)表示复数Ｚ的虚部．

平面闭折线的有向面积概念和计算公式，不仅理论上有意义，而且在实际中也有用途．

二、闭折线的基本元素间的恒等关系

王方汉将三角形的正弦定理余弦定理射影定理推广到一般折线中，得出了有向闭折线的边与折角之间的恒等关系[42]．

定理30：设平面有向闭折线A1A2…An的边长ＡiＡi+1=ai，顶点Ａi处的折角为φi (i=1,2,…,n)，则有如下等式成立：

⑴ 射影定理：ai=-∑[1≤k≤n] akcos(∑[2≤j≤k]φj)；

⑵ 正弦定理：∑[2≤k≤n] aksin(∑[2≤j≤k]φj)=0；

⑶ 余弦定理：ai2=∑[1≤k≤n] ak2+∑[1≤k≤n] am al cos (∑[m+1≤j≤l]φj)．

三．顶点在已知曲线上的闭折线的几何属性

熊曾润在《闭折线与次曲线及曲面间的美妙关系》一文中，推广了著名的梅涅劳斯定理和卡诺定理，得到了

定理31：设平面闭折线A1A2…An的边ＡiＡi+1(i=1,2,…,n)或其延长线与一条m次曲线相交于m个点，交点分别为Pij (j=1,2,…,n),且交点不是已知闭折线的顶点，则

Π[1≤i≤n]Π[1≤j≤m](Ai Pij / Pij Ai+1)=(-1)mn.

定理32：设空间闭折线A1A2…An的边ＡiＡi+1(i=1,2,…,n)或其延长线与一条m次曲线相交于m个点，交点分别为Pij (j=1,2,…,n),且交点不是已知闭折线的顶点，则

Π[1≤i≤n]Π[1≤j≤m](Ai Pij / Pij Ai+1)=(-1)mn.

　四．一般闭折线的顶点系重心问题

多边形的顶点系重心的有关性质已被人们所熟．一般地，在平面闭折线中有没有顶点系重心？如果有，它有什么性质？熊曾润的回答是[44]:

定义17：设平面闭折线A1A2…An顶点的直角坐标Ai(xi,yi)，令x=(1/n) ∑[1≤i≤n] xi，y=(1/n) ∑[1≤i≤n] yi，则点G(x, y)称为这条闭折线的顶点系重心．

定理33：平面闭折线的顶点系重心有如下性质：

①在闭折线所在平面内，点G到各顶点的距离的平方和最小；

②在闭折线所在平面内，以点G为圆心，以定长Ｒ为半径作圆，则这圆上任一点到各顶点的距离的平方和为定值；

③点G到各顶点的距离的平方和等于该闭折线的各边及对角线的平方和的n分之一．

多面体是平面闭折线的空间推广．熊曾润将顶点系重心概念推广到多面体之中（类似于定义17），他在文[45]中得到了多面体顶点系重心的如下性质：

①在空间，以多面体的顶点系重心G到各顶点的距离的平方和最小；

②以多面体的顶点系重心Ｇ为球心，以定长Ｒ为半径作球面，则这球面上任一点到各顶点的距离的平方和为定值；

③在空间，若动点到多面体各顶点的距离的平方和为定值，则这动点的轨迹是一个球面，球心为多面体的顶点系重心；

④多面体顶点系重心G到各顶点的距离的平方和等于该闭折线的各边及广义对角线的平方和的n分之一；

⑤在空间，任一点到多面体各顶点的距离的平方和，不小于多面体各棱及各广义对角线的平方和的的n分之一．

五．一般闭折线的等周问题

多边形的等周问题是平面几何学中令人瞩目的问题。在定义了平面闭折线的面积概念之后，王方汉[46]证明了平面闭折线的等周问题，即

定理34：在周长为定值的所有n边闭折线中，以正n边形面积最大。

推论：若n边闭折线的边长为ai (i=1,2,…,n)，，它的面积为Δ，则

∑[1≤k≤n] ak2≥4Δ tan(π/n).

六．关于空间闭折线的问题

关于空间闭折线，除定理32外，熊曾润还在《边数为奇数的空间闭折线的美妙性质》[47]中有如下结果：

定理35：在空间闭折线A1A2…An中，若∠AiAn+i+1Ai+1 (i=1,2,…,n)的平分线与边AiAi+1相交于点Pi，则

(A1P1/P1A2) (A2P2/P2A3)…(ANPn/PnA1)=1.

定理36：在空间闭折线A1A2…An中，从顶点iAn+i+1作三角形AiAn+i+1Ai+1 (i=1,2,…,n)的外接圆的切线，与边AiAi+1相交于点Pi，则

(A1P1/P1A2) (A2P2/P2A3)…(ANPn/PnA1)=1.

关于空间闭折线的内接闭折线的性质，其讨论过程颇为有趣且对我们有一定的启示作用．熊曾润建立了如下不等式：

定理37：[48]设是Ｂ1Ｂ2…Ｂn闭折线A1A2…An的内接闭折线，A1A2…An的顶角∠Ai＝２θi(i=1,2,…,n)，记内接闭折线Ｂ1Ｂ2…Ｂn的周长为m0，三角形ＢiAi+1Ｂi+1的周长为mi，则 ∑[1≤i≤n](1/mi) ≥n3/[(n+∑[1≤i≤n]cscθi)m0].

实际上，在定理37之前就有更一般的结果发表了，这就是贾玉友在文[49]中得到的：

定理38：设是Ｂ1Ｂ2…Ｂn闭折线A1A2…An的内接闭折线，A1A2…An的顶角∠Ai＝２θi(i=1,2,…,n)，记内接闭折线Ｂ1Ｂ2…Ｂn的周长为m0，三角形ＢiAi+1Ｂi+1的周长为mi，则

∑[1≤i≤n](1/mik) ≥n2k-1/[(n+∑[1≤i≤n]cscθi)km0k].

之后，简超对定理38又作了改进，给出了：

定理39：设是Ｂ1Ｂ2…Ｂn闭折线A1A2…An的内接闭折线，A1A2…An的顶角∠Ai＝２θi(i=1,2,…,n)，记内接闭折线Ｂ1Ｂ2…Ｂn的周长为m0，三角形ＢiAi+1Ｂi+1的周长为mi，则

[Π[1≤i≤n](1/mi)]1/n≤(m/n) [Π[1≤i≤n](1+cscθi)]1/n [n2k-1/[(n+∑[1≤i≤n]cscθi)km0k].

注意到定理38的结果是诸mi的-k次幂平均，即

而定理39的结果是诸mi的几何平均，故后者优于前者．

当闭折线是等角的，就有

和

稍有遗憾的是，文和的结论都是针对多边形给出的．实际上它们完全适用于空间闭折线！可惜的是，作者未用＂点睛＂之笔指出这一点．由此可见，只要大家多一点交流，就会避免多走一些弯路．只要人们有更多的＂折线＂意识，可能就有更多的作者得到更多的精彩的结果．此外，王方汉给出了空间闭折线与它的中点闭折线周长间的一个关系，这就是

定理40：[51]设是空间任意的闭折线，角是它的顶角，点是边上的中点，记闭折线周长分别为，则

当且仅当时等边闭折线取等号．

§4 结束语

由于我们手上的资料以及本人的水平有限，以上的叙述肯定是不够完善的．但是，从中仍然可以看出，从１９９１年以来的近十年中，国内对平面折线的研究的确开了一个好头，迈出了一大步，取得了可喜的成绩．更令人欣喜的是，在折线的研究过程和研究成果中，处处充满了问题．这表明平面折线的确是一个尚待人们开采的＂富矿＂！

关于平面折线的构造特征，还有许多工作等待我们去做．例如，一条平面闭折的复杂程度，这是指什么呢？杨之先生在文［５２］中认为：第一，看它的双折边的条数；第二，看它的自交点的个数；第三，看它的环数．他在文中说：＂我们称它们为衡量闭折线复杂程度的三项指标，是否妥当？还有其它指标吗？＂（如不同层次的＂内点＂＂内部＂）．以后他又在文［１４］中抽出了如下比较深刻而困难的问题：

对同一已知折线，有何关系？

对整数，是否存在折线，使得？

关于平面折线的几何属性，目前的状况可谓＂知之甚少＂，且不够系统，亟待研究．例如，双圆闭折线的存在性已经解决［５３］，但这种折线的几何性质如何？姚勇有一个猜想如下：

设为双圆闭折线所在平面内一点，分别是其边长面积和环数，则

对一般空间闭折线的研究，现已有所突破，但毕竟还是零星的．由于此项工作难度也许更大，理有待人们去潜心探索.

关于折线的应用（在实际中或在数学中的），至今几乎是一片空白．例如折线在装饰图案中的应用，折线与绳圈的关系，折线与分形几何中的＂发生器＂的关系等．又如，在拓朴学中纽结可以用多项式表示，即尖括号多项式和琼斯多项式，折线能否用代数式表示？这些恐怕是更深层次的研究课题．

杨之先生在１９９９年给笔者的一封信中，道出了折线研究的某些不足：＂折线研究至今未形成自己独特风格的方法和工具，也未能真正用上现代数学的典型方法和工具＂．笔者以为这将是我们今后努力的一个重要方向．

一般折线的研究任重而道远．希望数学界有更多的有识之士关心和投入到这一工作中去，让我们共同努力，争取更大的突破性的进展！

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王方汉(大罕)

 

(影印件)

 

 

 

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