关于直线对称的两点的坐标计算公式

   撰文/大罕

已知点M(x₀,y₀)和直线 l：Ax+By+C=0（A≠0，B≠0）,求点M关于直线l对称的对称点M′的坐标，这是高中数学教学中常见的问题。

其求法是简单的，设M′(x，y)，利用直线l是线段MM′的中垂线,列出方程组，解方程组便可求得M′点的坐标。

由于在教学中遇到此类问题很多，屡屡列方程组并解之不胜其烦，所以不如做一回傻事，就一般情况推导出其坐标公式，“毕其功于一役”，省得以后劳苦再三。但需说明的是，此公式虽如此优美，但仅适合于教师使用。而不提倡学生使用此公式（额外增加了记忆负担）。

定理：已知点M(x₀,y₀)和直线 l：Ax+By+C=0（A≠0，B≠0）,点M关于直线l对称的对称点M′的坐标(x，y)，则
    x=x₀-2Af(x₀,y₀)/(A²+B²),
    y=y₀-2Bf(x₀,y₀)/(A²+B²).
其中f(x,y)=Ax+By+C
   证明：设点M关于直线l对称的对称点M′的坐标是(x，y)，
   ∵ l⊥MM′,
   ∴ [(y-y₀)/(x-x₀)](-A/B)=-1,
   ∴ y=y₀+B(x-x₀)/A ,                      ①
   ∵ 线段MM′的中点在直线l上，

   ∴ A(x+x₀₎/2+B(y+y₀)/2+C=0,  

   ∴Ax+By+C+Ax₀+By₀+C=0, 
    即 Ax+By+C+f(x₀,y₀)=0,                  ②
   将①代入②，得
     Ax+B[y₀+B(x-x₀)/A]+C+f(x₀,y₀)=0,
    ∴ A²x+B[Ay₀+B(x-x₀)]+AC+Af(x₀,y₀)=0,
    ∴ A²x+ABy₀+B²x-B²x₀+AC+Af(x₀,y₀)=0,
    ∴ (A²+B²)x-A²x₀-B²x₀+A²x₀+ABy₀+AC+Af(x₀,y₀)=0,
    即 (A²+B²)x-（A²+B²）x₀+2Af(x₀,y₀)=0,
    ∴ x=x₀-2Af(x₀,y₀)/(A²+B²),
   把上式代入①，得
    y=y₀+B[-2Af(x₀,y₀)/A(A²+B²)]
     =y₀-2Bf(x₀,y₀)/(A²+B²).(证毕)
   例1 已知点M(3,4)和直线 l： x-y=0,点M关于直线l对称的对称点M′的坐标。
   解：x₀=3,y₀=4, f(x₀,y₀)=3-4=-1，A=1，B=-1，A²+B²=2,
    设M′的坐标是(x，y)，则
     x=3-2(-1)/2=4,
     y=4-2(-1)(-1)/2=3.
    ∴M′(4,3)
   例2 光线从点A(3,-2)射到直线l:x-y+3=0上一点N后被反射，反射光线经过点B(-1,-4)，求点N的坐标。
   解：由物理知识，先求点B关于直线l对称的对称点B′的坐标，直线AB′与直线l的交点就是N点。
    x₀=-1,y₀=-4, f(x₀,y₀)=-1-(-4)+3=6，A=1，B=-1，A²+B²=2,
    设B′点的坐标是（x，，y）
    x=-1-2×1×6/2=-7,
    y=-4-2×(-1)×8/2=2.
    ∴ A′（-7，2）
    ∴ 直线A′B的方程为：
     2x+5x+4=0，
   由2x+5x+4=0与x-y+3=0联立，解得
    ∴  N（-19/7,2/7）