自从欧几里得的伟大著作《原本》问世以来，初等几何已历经二千多年。后人虽不断充实其内容，但对折线形的研究，大体上仅限于多边形，始终没有把"一般平面折线"作为深入研究的对象。

   十八世纪以后，人们或许是受台球运行轨道的启示，开始用数学的眼光，考察质点在圆或凸域内撞击边界所产生的折线轨道所蕴含的数学规律，得到了一些有益的结论，诸如著名的雅可比定理。此后经过几代数学家的工作，建立了一套关于质点碰撞的数学理论[1]。但是，在这些研究活动中，"一般平面折线"仍然没有正式成为深入研究的对象。

   1951年1月，我国著名的数学教育家傅种孙先生发表了《从五角星谈起》[2]的精彩演讲，开了星形研究的先河。1958年,《有向图形的面积计算》[3]一书在我国翻译出版。1983年，国内有几篇文章探索了星形的计数[4]、特殊折线的顶角和问题[5]。这些表明国内数学工作者已经开始注视平面折线这一几何图形。

   1991年，杨之先生发表了《折线基本性质初探》[6]一文，正式提出了对折线进行理论研究的课题，并在他著名的《初等数学研究的问题与课题》[7]一书中专辟一章加以阐明。在他的创导下，短短的几年内，国内关注这一研究课题的学者开始增多，新的研究成果不断涌现。其中不乏较为深刻、有突破性进展的成果。

   2002年2月，熊曾润著《平面闭折线趣探》[8]出版；2006年12月，曾建国、熊曾润著的《趣谈闭折线的k号心》[9]出版。这两本书的出版，标志着平面闭折线的研究在度量性质方面取得了系统的成果。

   本书从三个方面对平面闭折线作了介绍。第一章介绍五角星和正五角星的有趣知识，密切结合了中学数学内容，高中学生不难看懂。第二章对星形作了深入的研究，对它的生成法则、结构性质和度量性质作了全面的介绍。第三章对一般闭折线的基本性质（结构性质）作了较为深入的介绍。第二章和第三章基本上是作者研究折线的成果，可供中学数学教师、高中学生和数学爱好者阅读参考。

   本书的主体内容早在2000年就基本形成。这一次出版，得力于武汉市第###中学的大力支持，谨此致谢。

参考文献：

[1]Т.А.Гальперин.А.Н.Землякоб.Матматические бильярды.Москба《НАУКА》，Глабная ребакция，Физико математической литературы1990.
[2]傅种孙，从五角星谈起，中国数学杂志，1952.2.
[3]洛普希兹（著），高恒珊（译），有向图形的面积计算，中国青年出版社，1958.
[4]冯跃峰，关于圆内接正星形的计数问题，湖南数学通讯，1988.4.
[5]叶年新，非简单多边形的顶角和，数学教师，1988.5.
[6]杨之，折线基本性质初探，中学数学（湖北），1991.1.
[7]杨之，初等数学研究的问题与课题，湖南教育出版社，1995.5.
[8]熊曾润，平面闭折线趣探，中国工人出版社，2002.2.
[9]曾建国，熊曾润，趣谈闭折线的k号心，江西高校出版社，2006 .12.
[10]王方汉，关于简单闭折线种类数猜想的评注，数学通讯（征解栏），1998.4.
[11]姚勇，关于简单闭折线种类数猜想的修正与证明，数学通讯（征解栏），1998.4.
[12]王方汉，平面折线的环数，数学通报，1996.3.
[13]姚勇，平面折线的分解及应用，数学通讯，1997.7.
[14]王方汉，用拓朴法求折线的环数，数学通报，1998.1.
[15]王方汉，平面折线的有向顶角及求和公式，数学通报，1996.12.
[17]王方汉，两类星形及其自交数，初等数学前沿，江苏教育出版社，1995.3.
[18]姚勇，两条闭折线交点个数的最大值，中等数学，11998.2.
[19]王方汉，星形生成及有关性质，中学数学，1992.7.
[20]王方汉，合星形与素星形，中学数学，1994.6.
[21]王方汉，关于序号数列的遍历性，数学通讯，1997.2.
[22]黄拔萃，关于折线一个猜想的证明，中学数学，1998.8.
[23]王方汉，正星形及其子星形序列，数学通报，1985.12.
[24]王方汉，刘艳，星形多边形初探，中学数学，1999.8.
[25]王方汉，平面闭折线的有向面积，第四届全国初等数学学术交流会论文，2000.8.
[26]王方汉，平面折线的射影定理正弦定理和余弦定理，数学通讯，1998.9.
[27]王方汉，平面折线的等周定理——从两个错误的折线不等式谈起，数学通讯，1999.12.
[28]王方汉，空间折线与其中点折线间的一个关系，数学通讯，1999.10.