古老神秘的三等分任意角问题
   依据太极八卦图的化生理论及其数学思想（“3”环<还>圆，对偶性等数学思想），我们完全可以研究并解决古老神秘的三等分任意角问题。 
                                     一    关于三分角定理
   1.  莫莱定理   三角形内角三等分线相邻两线的交点是正三角形的顶点．
   上述定理是由美籍英国数学家富兰克·莫莱（F·Morley，1860——1937）于1899年提出的一条著明定理，该定理的条件和结论都是十分对称的，真可謂美妙至极。数学家奥克莱评论说：“这是数学中最令人吃惊而又全然意外的定理之一，如同明珠一般，鲜有能与之匹敌者”；另一位数学家可克特则称它“是初等几何中最惊人的定理之一”。为叙述方便起见，莫莱定理可称之为“内三分角定理”，对此本文不再赘述，下面专门介绍其姊妹定理“外三分角定理”（或许是现在才发现的），及与之孪生的“四点共线定理”。 

    外三分角定理   三角形外角三等分线相邻两线的交点是正三角形的顶点。
    内、外三分角两姊妹定理合并可称之为“三分角定理”具体叙述如下：
   三角形内、外角三等分线相邻两线的交点是两正三角形顶点；且内角与不相邻外角相应两三等分线的交点同外角三等分线正三角形顶点对应四点共三线。

 

                                         

                              

                       
      图中，⊙O 内接  △ABC，AE和AG、BF和BE、CG和CF分别是∠A、∠B、∠C的内角三等分线，AB1 和AC1 BC1 和BA1、CA 1 和CB1 分别是∠A、∠B、∠C的外角三等分线，它们相应的交点分别为E、F、G、A1、B1 、C1、A’、B’、C’、A” 、B” 、C” ；则必有△EFG、△ABC是两正三形．并且点 A”、A1、B1 和B’，点B”、 B1、C1和C’，点C”、C1、A1 和A’分别四点共线．
    三分角定理的作图与证明  （略）（见《解圆与数论——河洛象数理》陕内资图批字04号 2006.元月）
    三分角定理的作图与証明更是令人吃惊而感到神奇的。我们依据数学科学的对偶原理，倍角与分角对偶相生相克，同时考虑到三角形内外角互补与三分内角和之值等于60°等关系，纯粹只利用尺规三分任意弧及其所对的圆周角，可以随意而精确地作出圆内接任意三角形三分角共生图．
    关于三分角定理中还蕴涵有如下的一条新的线共点性质：△ABC与△A1B1C1对应顶点连线AA1、BB1、CC1三线共点。
      附:　古老神秘的三等分任意角问题
    1. 三等分任意角问题,是个古老神秘问题．它吸引了古今中外无数的数学家、学者为之绞尽脑汁。这个问题说是早就已经得到了解决，结论是“尺规作图不可能”问题。
    2. 正三角形及其外接圆中的点共线性质
    对三分任意角问题的分岐意见无意评述．这里只想根据三角形垂心线定理及其逆定理所具有的普遍几何意义,研究其广泛的应用问题．
    定理：正三角形外接圆上任一点以相应垂心线为轴的对称点,与三对称圆圆心及三对称点对应三点共线．(图与证明略).