什么是质数？就是在所有比1大的整数中，除了1和它本身以外，不再有别的约数，这种整数叫做质数，质数又叫做素数。这终规只是文字上的解释而已。能不能有一个代数式，规定用字母表示的那个数为规定的任何值时，所代入的代数式的值都是质数呢？
质数的分布是没有规律的，往往让人莫明其妙。如：101、401、601、701都是质数，但上下面的301和901却是合数。
有人做过这样的验算：1^2+1+41=43,2^2+2+41=47,3^2+3+41=53……于是就可以有这样一个公式：设一正数为n，则n^2+n+41的值一定是一个质数。这个式子一直到n=39时，都是成立的。但n=40时，其式子就不成立了，因为40^2+40+41=1681=41*41。
被称为“17世纪最伟大的法国数学家”费尔马，也研究过质数的性质。他发现，设Fn=2^(2^n)，则当n分别等于0、1、2、3、4时，Fn分别给出3、5、17、257、65537，都是质数，由于F5太大（F5=14292967297），他没有再往下检测就直接猜测：对于一切自然数，Fn都是质数。但是，就是在F5上出了问题！费尔马死后67年，25岁的瑞士数学家欧拉证明：F5=14292967297=641*6700417，并非质数，而是合数。
更加有趣的是，以后的Fn值，数学家再也没有找到哪个Fn值是质数，全部都是合数。目前由于平方开得较大，因而能够证明的也很少。现在数学家们取得Fn的最大值为：n=1495。这可是个超级天文数字，其位数多达10^10584位，当然它尽管非常之大，但也不是个质数。质数和费尔马开了个大玩笑！
17世纪还有位法国数学家叫梅森，他曾经做过一个猜想：2^p-1代数式，当p是质数时，2^p-1是质数。他验算出了：当p=2、3、5、7、17、19时，所得代数式的值都是质数，后来，欧拉证明p=31时，2^p-1是质数。
还剩下p=67、127、257三个梅森数，由于太大，长期没有人去验证。梅森去世250年后，美国数学家科勒证明，2^67-1=193707721*761838257287，是一个合数。这是第九个梅森数。20世纪，人们先后证明：第10个梅森数是质数，第11个梅森数是合数。质数排列得这样杂乱无章，也给人们寻找质数规律造成了困难。
现在，数学家找到的最大的梅森数是一个有378632位的数：2^1257787-1。数学虽然可以找到很大的质数，但质数的规律还是无法循通。
头五千万个质数

【摘要】不按牌理出牌 数学家也拿他没办法

质数怎样分布？古今中外，不论是专业的数学家或业余的嗜好者，都曾被这问题所深深吸引。

质数是个比1大的自然数，除了自身和1以外，没有其他自然数可以除尽他。质数的分布有两个互相矛盾的特点。下面我会列举一些事实，使你永远相信这两个特点。

第一点，尽管质数的定义极为简单，又是自然数的建构砖石（任何自然数都可表为质因数的幂次的连乘积，且表法唯一），它却是数学家研究的对象中最不驯的一种；质数在自然数中，像杂草似地乱长，似乎除了机会律以外，不遵守其他的规律，没人敢说下一个会从那里冒出来。

第二点更令人惊讶，因?T篕P第一点相反，质数表现出惊人的规律性。也就是说，确有规律限制质数的行为，他们像军人一样绝对服从这些规律。

为了支持第一点，我把100以下的质数和合数写出来（除了2以外，不列偶数）：

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再把1千万加减一百以内的质数列出：在9,999,900与10,000,000之间的质数

9,999,901

9,999,907

9,999,929

9,999,931

9,999,937

9,999,943

9,999,971

9,999,973

9,999,991

在10,000,000与10,000,100之间的质数

10,000,019

10,000,079

你看！没有什麼理由可以说这个数是质数，那个数不是质数。当你看到这些数字时，是否联想到宇宙的奥秘，像天边那闪烁的星星一样神秘不可测？甚至数学家都无法揭开此一奥秘，如果他们能够，他们就不会劳神苦思去计算下一个更大的质数是多少了。（没有人会想去找比前一个平方数更大的平方数，或2的幂次数——通常一个好学生只记到210=1024）。

1876年，Lucas证明2127-1为质数，这纪录维持了75年。这也难怪，因为

2127-1

=1701411834604469231731687303715884105727

直到1951年，电子计算机的新纪元，更大的质数陆续发现（见下表历次记录）。目前的记录是6002位的219937-1，不信的话，你可以去查Guiness世界记录。（编者注：根据合众国际社1978年11月15日报导，这记录已被两个18岁的加州大学学生打破。）

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质数的规律

更有趣的，还是关於质数的规律。前面已提到过100以下的质数，现在用图表示，其中π(x)表示所有不大於x的质数的个数。

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就这麼简单的一个图，我们已经可以看出，除了一些小的扰动以外，π(x)大致上增加得很有规律。

若把x值从一百增到五万，则此规律性变得更为明显。见下图：

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当某种规律自然出现时，科学家就得设法去解释它，质数分布的规律性也不例外。关於质数分布，我们不难找到一个良好的经验规律。请看下表：（这表看来平凡无奇，却代表上千小时的艰苦计算。）

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注意：x每增10倍，x与π(x)的比就增加约2.3。机警的数学家立刻联想到10取自然对数的近似值是2.3。所以x/π(x)～logx，亦即π(x)～x/logx（用log x表示x的自然对数，～表示当x接近无穷大时，π(x)与x/logx的比趋近於1；如果用≈，则表示接近的程度更好。）

质数定理

这个关系叫做质数定理，是高斯1791年发现的，但直到1896年才得到证明。高斯（1777～1855年，关於高斯与质数定理，请参阅凡异出版社，伟大数学家的一生——高斯）14岁那年收到一本对数的书；次年，研究书上所附的质数表，发现了这个定理。终其一生，高斯一直很注意质数分布，并且花了很多功夫去计算。高斯写信给他学生安克（Encke）说他「时常花费零星的片刻计算1000个连续整数（如18001到19000）中有多少质数」，最后他竟能列出三百万以下的所有质数，并且拿来和他的推测公式比较。

质数定理说π(x)是渐近地，即相对误差趋近於0，等於x/logx。但是如果拿x/logx与π(x)的图形加以比较，则可看出，虽然x/logx反映了π(x)行为的本质，却还不足以说明π(x)的平滑性。

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所以，我们希望找到更佳的近似函数。如果我们再仔细看看前面那个表，会发现x/π(x)差不多恰为logx-1。经过更小心地计算，并和π(x)的更精密数据相较，乐强何（Legendre）在1808年找到特佳的近似。即

π(x)≈x/(log-1.08366)

另有一种π(x)的近似函数也不错，是高斯与质数定理同时提出的。从经验得知，当x很大时，在x附近出现质数的或然率差不多恰为1/logx。因此，π(x)差不多应为

对数和：Ls(x)=1/log2+1/log3+…+1/logx或实值上相同的

对数积分：【浏览原件】

现在再比较Li(x)与π(x)的图形，把座标轴的尺度取到这麼大时，两者完全重合。

没有必要再把乐强何的近似图形列出来给大家看，因为在0到5万之间，他的近似比Li(x)更加接近π(x)。

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质数的幂次

再提一个π(x)的近似函数。从黎曼（Riemann）研究质数的结果显示，如果我们在计算质数以外，还计算质数的幂次（质数的平方算半个质数，质数的立方算1/3个质数，依此类推），则一个很大的数x为质数的或然率将更接近1/logx。从此导出

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或

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第二式右边的函数定名为R(x)以纪念黎曼。从下表可以看出它与π(x)有惊人的吻合。

【浏览原件】

R(x)可以表为

【浏览原件】

在这里要强调一点，高斯和乐强何的近似都是由经验归纳而来的，不是由逻辑证明得到的。甚至黎曼函数也是如此，虽然他的R(x)有理论的解释，他从未证明出质数定理。Hadamard以及de la Vall'eePoussin根据黎曼的工作，继续研究，终於在1896年首度完成证明。

孪生质数

关於质数的规律性，我们再来看一些数值的例子。前面说过，在x附近的一个数其为质数的或然率为1/logx。换句话说，假使取一以x为中心，长度为a的区间，这区间长得足以使统计成为有意义，而与x相较，又足够小时，其中质数的个数，应该约为a/logx。例如，在壹亿至壹亿零壹拾伍万之间，预计有8142个质数，因为

150,000/log(100,000,000)=150,000/18.427… ≈8142

根据同样的想法，在x附近的任意两数同时为质数的或然率应约为1/(logx)2。所以如果有人问在x到x＋a之间有多少孪生质数（连续两个奇数都是质数，如11,13或59,61），则我们可以预计有a/(logx)2个。事实上，我们可以预计多些，因为n已是质数，使n＋2为质数的可能性稍稍加大。（例如n＋2必为奇数）。用一个容易的直观的论点，可以得到在〔x,x＋a〕中，孪生质数的对数为C．a/(logx)2，此处C＝1.3203236316…。

所以在壹亿至壹亿零壹拾伍万之间应有(1.32…)．150,000/(18.427)2≈584对孪生质数。下表列出一些同长区间中质数及孪生质数的预测值及真值。由下表可以看出，理论和实际有极佳的吻合。对於孪生质数而言，这种吻合更令人惊讶。因为孪生质数是否为无穷，这问题直到现在尚无定论，遑论他的分布定律了。

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质数的距离

关於质数分布的规律性，最后一个例子就是相邻两质数的距离。若有人去查质数表，会注意到有时距离相当大。例如113和127之间无其他质数。令g（x）表x以下，所有相邻质数的最大距离。则g（200）＝127-113＝14。当然，g（x）增加得极不规则。但是用一个直觉的论点可以得到下列渐近公式，g(x)～(logx)2。从下图可以看出，像g（x）这样极不规则的函数，其行为和预测能符合的程度。

【 浏览原件】

到现在为止，质数的规律性说得较多，不规律性说得很少。而本文标题「头五千万个质数」，我也只提到前几千个而已。所以现在先列一表，比较π(x)，乐强何，高斯，黎曼四函数在x小於一千万范围内的差异。因为这四种函数在图上分辨不出差异，如前面所列π(x)与Li的比较图，所以现在这图只表示这三种函数与π(x)的差。我想从这图足以看出，一个有志研究数论的人可能遇到的麻烦有多大。当x很小时（小於一百万），x/logx-1.08366比Li（x）近似π(x)，但是五百万以后，Li（x）变得较近似，而且可以证明当x更增加时，Li（x）总是较近似π(x)。

【 浏览原件】

就算我们讨论到一千万，其中也只有60万多个质数。要达到应许的五千万个质数，x必须为十亿。下图表示十亿以内R(x)-π(x)的图形。R(x)-π(x)的振动变得愈来愈大，但即使到十亿这麼大，振动仍在几百以内。

【 浏览原件】

顺便提另一个π(x)的趣事。从图上可以看出，在一千万以内，Li（x）总是大於π(x)，10亿以内仍然如此。见下图（此图以对数尺寸绘出）。

【 浏览原件】

上图给我们一个印象，当x继续增加时，Li（x）-π(x)会稳定地无限增加。但是上述推测错了！事实上，立特伍（Littlewood）可以证明有某x值，而π(x)会大於Li（x）。但到目前为止，并未真正找到一个确数，使此事成立，而且恐怕永远不会找到。但是立特伍的证明不可能有误，而且Skewes更证明在【浏览原件】以内就有一个这样的数。英国名数学家Hardy有一次说，这可能是数学上有确定目的的数字中最大的了。总而言之，此例说明了，在质数理论里，仅仅依赖数据就想要导出结论的作法是多麼不智啊！

〔本文节译自“The First 50 million Prime Numbers”，原文刊登在The New Mathematical Intelligencer, Vol. 0, Aug. 1977，为原作者Don Zagier就任德国波昂大学教授的就任演说稿。〕

首先,要澄清一点的是:
不存在最大的质数。这与不存在最大的自然数是一样的。

这一点，是稍有质数理论的人都知道的常识。这是在几百年前就已经解决的问题了。
在这里，简单证明如下：
假设存在最大的质数M, 2、3、5、……、M是所有小于等于M的质数，设 N = 2*3*5*……*M+1，

N显然不能被 2、3、5、……、M所整除。

N也不可能被其它合数整除。因为若N被合数A整除，而因为A为合数，所以至少存在一个质因子a,依照前面的假设,a必是2、3、……、M中的一个，这样就有
a|A,A|N =>a|N ，这与N=2*3*5*……*M+1的表达式相悖，故N也不可能被其它合数整除。

那根据"除了1和它本身外，没有其它因数的数，就是质数”的定义，N 也是质数。

这样就存在一个大于M的质数，和前面的假设矛盾。
所以假设不成立。
故因得到不存在最大的质数的结论！

如果严格证明，需要近代的集合论。但就上面的说明，已经足以说明不存在最大的质数！

然后要说的是，哥德巴赫猜想是个"生金蛋的鸡",它的意义不仅仅在于解决它本身，而在于在解决的过程中，人类对数学以及哲学甚至是其它领域里有更深入的认识。

再就是补充一下,你说的参考消息全文如下:
" 据新华社电 设在美国奥兰多的梅森素数搜索组织28日正式公布，德国一名数学爱好者近日发现了迄今最大的质数（素数也叫质数）。这个质数有780多万位，可写成2的25964951次方减1。

据德新社28日报道，这个新发现的质数是梅森素数家族的第42位成员，它也是目前已知最大的质数。
这位名叫马丁·诺瓦克的数学爱好者是德国一名眼科医生，他利用主频为2.4GHz的个人电脑运行梅森素数计算程序，经过50多天的持续运算终于在2月18日得到了这个7816230位的已知最大质数。它比此前发现的最大质数多50万位。5天之后，一名法国专家独立验证了这一结果。

质数是只能被自己和1整除的数，如2、3、5、7、11等。2500年前，希腊数学家欧几里德证明了素数是无限的，并提出少量素数可写成“2的n次方减1”的形式，这里n也是一个素数。此后许多数学家曾对这种素数进行研究，17世纪的法国教士马丁·梅森是其中成果较为卓著的一位，因此后人将“2的n次方减1”形式的素数称为梅森素数。"
这是说人类找到的最大质数,并不是说最大的质数就是它。

认识自然数的类别属性是证明“歌德巴赫猜想”的“唯一”正确方法

注：我这里使用“唯一”这个提法，是为了提请读者对我的这篇发言的关注，并没有什么依据，也不合于常理。－－－本文作者

“歌德巴赫猜想”是著名的数学难题之一，人们一直没有放弃找寻它的证明方法，由于不能突破对自然数的传统认识，因而至今不可能
最终取得结果。
传统的自然数的分类法是：以自然数2为基数，将自然数分为奇数与偶数两大类，同时，奇数又可以依据它是否能分解因数的情况分为质数与合数。

其实这样的分类并不能准确地描述自然数字间的形成排列规律。与之相反被人们所忽略的“自然数的类别分类法”，则可以客观、准确地描述这种规律，因而，它可以非常容易地证明在这种规律基础上产生的“猜想”。
自然数类别分类的方法是：以自然数3为基数，将所有的自然数分为A、B、C三类，所以也可以称为ABC分类。自然数的“奇偶”分类再加以“ABC”分类。这样自然数就可以分为：偶A、偶B、偶C和奇A、奇B、奇C六大类，其中奇A数与奇B数中集合了所有的质数及除去因数3以外的所有的合数。而奇C数是所有奇数中的3的倍数的集合。偶C数是偶数中的3的倍数的集合，也就是6的倍数的集合。

由此我们可以得出如下规律：
A+A＝B、B+B＝A、A+B＝C；N+C＝N
A*A＝A、B*B＝A、A*B＝B；N*C＝C（注：N为任意自然数）
这八个等式客观准确地反映了自然数中各类数的相互关系。
下面我们就用ABC属性分类对“猜想”做出证明，（我们只证明偶数中的偶A数，另两类数的证明类同）
设有偶A数P 求证：P一定可以等于：一个质数+另一个质数
证明：首先作数轴由原点0到P。同时我们将数轴作90度旋转，由横向转为纵向，即改为原点在下、P在上。我们知道任意偶数都可以从它的中点二分之一P处折回原点。把0＿P/2称为左列，把P/2＿P（0）称为右列。这时，数轴的左右两列对称的每对数字之和都等于P：0+P＝P；1+（P-1）＝P；2+（P-2）＝P；、、、、、、P/2+P/2＝P。这样的左右对称的数列我们称之为数P的“折返”数列。

对于偶A数，左数列中的每一个B数都对应着右列的一个B数。（A＝B+B）
如果这个对应的“B数对”中左列的B数是质数而右列的B数是合数，我们叫这种情形为“屏蔽”。显然，对于偶A数的折返数列，左列中的所有质数不可能同时被屏蔽，总有不能被屏蔽的“质数对”存在，这样我们就证明了偶A数都可以写作两个质数之和。其它同理。继而我们就证明了“猜想”。
第一步：写出B数数列：5、11、17、23、29、35、41、47、53、59、65、71、、、、（6*N-1）
第二步：写出B数数列中的合数：35、65、77、95、119、125、155、161、185、203、、、、、
第三步：由于对于偶A数P，它右列出现合数的最小数是35，所以能够屏蔽左列第一个质数5的P数的取值是40，也就是说只有当P＝40时，左列中的5才可以被35屏蔽，这时左列0＿P/2＝20，左列中还有11、17两个质数不能被屏蔽，这两个“质数对”是11+29、17+23。如果要同时屏蔽5和11、就必须加大P的取值，P由原来的40增加到P1＝130；而这时的（P1）/2也同时增加到65。
第四步：左列中有5、11、17、23、29、35、41、47、53、59、65共11个B数，而右列65＿130间的合数只有65、77、95、119、125共5个，除去屏蔽5和11的125和119以后只剩余95、77、65显然即使偶A数P＝130的折返数列的右列中的所有合数、都去屏蔽，也不能完全屏蔽左列中的质数。也就是说偶A数P中最少可以找出许多质数对，可以写成P＝一个质数+另一个质数的形式。这里它们分别是：
130＝17+113、130＝23+107、130＝29+101、130＝41+89、130＝47+83、130＝59+71
第五步：同理，即使我们再继续增加P的取值，而P/2的值也同时增加，右列中的合数永远也不可能全部屏蔽左列中的质数，所以，任意偶A数都一定可以写作两个质数之和。
同理，我们可以做出偶B数和偶C数也都可以写作两个质数之和。
这样我们就证明了对于任意偶数（大于6）我们都可以写作两个质数之和。

 

哥德巴赫猜想的证明
马倬豪

 

2000年3月18日《参考消息》第7版“科学技术”报道：

陈景润先生证明了每一个偶数都是一个素数及两个素数乘积之和，例如18=3+3*5，其公式可以表达为：

N=P1+P2*P3

其中N：偶数

P1，P2，P3：素数

 

哥德巴赫猜想：N=P1+P2

N：偶数(N=2*n，n是自然数)

P1，P2：素数

令P1=2*n’1+1，P2=2*n’2+1. (n’是能满足素数表达式的自然数；当然，也满足奇数的表达式)

 

证明：

由陈景润的已经证明的公式N=P1+P2*P3可以推出：

P1=N-P2*P3：素数等于偶数减去两个素数的积之差。

同时: N>P1并且N>P2*P3。

 

1．两个素数之和是偶数：P1+P2=N

 

（1）假设n’是能满足素数表达式的自然数(当然，也满足奇数的表达式)，令P=2*n’+1。例如:P1=2*n’1+1，P2=2*n’2+1.

P1+P2=(2* n’1+1)+(2* n’2+1)

=2* n’1+2* n’2+2

=2*( n’1+ n’2+1)

显然表达式2*( n’1+ n’2+1)是一个偶数。令这个偶数为N，则

2*( n’1+ n’2+1)=N，因此

P1+P2=N成立，即：两个素数之和是偶数。

 

（2）或者证明如下：

 

由陈景润的已经证明的公式N=P1+P2*P3,可以推出：N>P2*P3，P1=N1-P21*P31，P2=N2- P21*P31；并且：N1-(P21*P31)>0, N2-P22*P32>0。推出：P1+ P2>0。将P1=N1-P21*P31，P2=N2-P22*P32代入下式：

注：

1．P21，P31 ，P22，P32 是素数，令P21=2*n’21+1，P31 =2* n’31+1，P22=2* n’22+1，P32=2* n’32+1，其中n’21 ，n’31 ，n’22 ，n’32是能满足素数表达式的自然数(当然，也满足奇数的表达式)。

2．N1 ，N2是偶数。(N1=2*n1，N2=2*n2；n1，n2是自然数)

 

P1+ P2=(N1-P21*P31)+ (N2-P22*P32)

={2*n1- [(2*n’21+1)*(2* n’31+1)]}+ {2* n2-[(2* n’22+1)*(2* n’32+1)]}

=2* n1+ 2* n2-4* n’21* n’31-2* n’21-2* n’31-4* n’22* n’32-2* n’22-2* n’32-2

=2*( n1+ n2-2* n’21* n’31-n’21-n’31-2* n’22* n’32- n’22- n’32-1)

因为：原式左右两边均已经证明大于零，所以表达式

n1+ n2-2* n’21* n’31-n’21-n’31-2* n’22* n’32- n’22- n’32-1>0

并且，又因为该表达式至少是一个自然数。因此，令该自然数为n，则

n1+ n2-2* n’21* n’31-n’21-n’31-2* n’22* n’32- n’22- n’32-1=n,

则

2*n是一个偶数。

令偶数为N，则2*n=N，因此，

原式右边=偶数N，即：

P1+P2=N成立。即：两个素数之和是偶数。

 

 

2.偶数N是两个素数之和：N=P1+P2

 

请注意：要想证明N=P1+P2成立，只要证明P2=N-P1即偶数与素数之差为素数成立。

 

由陈景润的已经证明的公式N=P1+P2*P3可以推出：

P1=N-P2*P3：素数等于偶数减去两个素数的乘积之差。

 

现在，令P1=N’-P’2*P’3

注：

N’是偶数；(N’=2*n’；n’是自然数)

P’2，P’3是素数。令P’2=2*n’2+1，P’3 =2* n’3+1。n’2 ，n’3 是能满足素数表达式的自然数(当然，也满足奇数的表达式)。

 

由公式N=P1+P2*P3得：P1，P2，P3均小于N。

并由公式P1=N’-P’2*P’3得：N’ <N；N’-P’2*P’3>0.

即：N>N’> P’2*P’3>0, N-P1>0，

因为P2=N-P1

而N- P1 =N-(N’-P’2*P’3)

=(N-N’)+P’2*P’3

=(N-N’)-(-P’2*P’3)

=[(N-N’)+2* P’2*P’3]- P’2*P’3

显然可证:

式中(N-N’)+2* P’2*P’3 >0,并且

(N-N’)+2* P’2*P’3=2*(n-n’)+ 2* P’2*P’3是偶数；

令偶数为N3，则

(N-N’)+2* P’2*P’3 =N3，则

原式右边=N3- P’2*P’3

 

所以，符合“由陈景润的已经证明的公式N=P1+P2*P3可以推出：P1=N-P2*P3：素数等于偶数减去两个素数的和之差。”

即：原式右边N3- P’2*P’3为素数。因此，P2 =N-P1为素数。

 

因此，证明“P2=N-P1即：偶数与素数之差为素数成立”。

 

由P2=N-P1可以推出：N=P1+P2

 

因此，证明“偶数N是两个素数之和：N=P1+P2”成立。