本文主要描述复合函数、λ表达式、高阶函数的一些基本概念以及它们之间的一些关系。示例代码将以Python作为主要编成语言。

首先简单地谈谈什么是函数。对于基本的面向过程以及函数式编程语言而言，可以直接用集合论中的函数概念加以描述。如果是面向对象的话，但使用朴素集合论中的函数概念去描述还显得不够，基本上要用到范畴（Category）论中的态射（Morphism）进行描述。而对于函数式编成语言而言，通过集合论的函数概念进行描述就显得更为适宜。

首先简单地介绍一下什么是函数。函数首先是一种关系。为了方便描述，后面将主要针对二元关系进行讲解，即可理解为一个输入，一个输出。

函数定义：设A和B是两个任意集合，f是从A到B的二元关系。若f具有性质：

（1）f的定义域Dom f = A，

（2）如果有(a1, b1), (a1, b2)属于f，那么b = b2， （注：a1属于集合A，b1、b2属于集合B）

则称关系f是从A到B的函数，记为f:A->B。

根据函数基本定义，我们下面可以举两个基本函数的例子：

在上述代码中，sum和mul都是函数。sum: Z->Z, mul: Z->Z，其中，Z为整数集。也就是参数x为整数，而返回值亦是整数。

有了函数的一个基本定义，那么后面我们可以容易地引入复合函数这一概念：

设g: A->B, f: B->C，定义复合函数f○g为：f○g={(a, c)| a属于A， c属于C，且存在b属于B，使b=g(a)，c=f(b)}，称f○g是从A到C的复合函数，记为f○g: A->C。对a属于A，有(f○g)(a) = f(g(a))。

根据定义描述，我们下面将举一个复合函数的例子。

上述代码中，compFunc在表现形式上可看作为：mul○sum。尽管mul和sum的输入和输出都是整数，不过为了方便描述，我们假定sum: A->B，mul: C->D，由于这里集合B是集合C的子集（各位可以思考一下如果假定集合C是集合B的子集是否可以），所以关系compFunc仍可构成函数关系。compFunc: A->D。

首先，A通过sum函数映射到B，然后B通过mul函数再映射到D，所以compFunc可表现为：mul(sum(a))，a为集合A的一个元素。

OK，有了基础概念之后我们就可以看看lambda表达式了。在函数式编成语言中，λ实际上就是指一个函数。不过它的一个特点就是，对于一个lambda而言，它所对应的是一个函数集中的某一个元素。我们看看下面一个简单的例子：

上述代码中，lambdaFunc的函数关系可被表达为：lambdaFunc: A->F，A是整数集，F是一个函数集。集合F的元素这里可记为：{λ1, λ2, ...}。其中，元素的下标为labmdaFunc的输入。

由于对于lambdaFunc中的lambda而言，这个lambda受到lambdaFunc输入参数n的制约。因此对于不同的输入n就会映射到F集中不同的lambda元素。而对于某一个函数lambdaε（ε为下标），lambdaε: B->C。lambda的输入参数x属于集合B，而其返回值则属于集合C。因此对于整个表达式lambdaFunc(10)(20)而言，就是（10属于A）通过lambdaFunc映射到（lambda(10)属于F）；再由（20属于B）通过lambda(10)最后映射到（30属于C）。因此val的值就是30。

如果将lambdaFunc(10)抽象掉的话，即

那么aFunc实际上就可以视为一个复合函数：

这里，我们可以将lam(10)中的“10”视为：B->B这样的形式。

下面将描述高阶函数。

在《程序设计语言——实践之路》第二版汉化版中的第545页中讲述了高阶函数的概念：如果一个函数以函数作为实在参数，或者返回函数作为值，那么它就是一个高阶函数（high-order function），也称为函数形式。

下面的例子描述了一个比较简单的高阶函数：

我们来看一下HighOrderFunction：

HighOrderFunction: Ο->F，其中Ο表示空集，F为函数集lambda(f, g)。我们这里看到lambda(f, g)有两个输入参数，为了方便描述，我们将(f, g)作为一个关系对而看成一个输入源。设R为一个函数关系对集，(f, g)为其中一个元素，那么有lambda(f, g): R->G。设G为一个函数集，lambda(x)是其中一个元素。lambda(x): A->C。

我们可以看到高阶函数实际上隐藏了两个或两个以上的lambda。

下面给出完整的示例：