数学期望来讲绝对是选绿色啦

但是在作决定的时候的人不是机器，从保险人的角度来讲这涉及到了风险的评估。
风险厌恶者在做决策的时候会规避风险，不同程度的风险厌恶者会对不同的风险产生不一样的反应，这时候可以选择外包一部分风险给保险公司，可以使保险公司和投保人的期望收益都增大。。。
(呃 好像跑题了)

Newest Update:
-----------------------------我是深夜更新的分割线----------------------------- 2012/10/22

由于刚开始写答案的时候凭印象去找了阿莱悖论但却忽略了从效用函数(Utility Function)这个基础入手来解释人们关于风险的决策究竟是如何的，这样能比较完善的解释一些由感性认识生出的答案和评论。

1. 首先，我们假定参与抉择的是机器人，该机器人仅被写入了简单的执行程序：仅根据数值大小来判断优劣，而这个数值大小在此是分析概率后的期望值。 前提条件一定好，这个问题就会变得无比简单： 该机器人往max函数里面输入了两个argument，在此过程中同时调用了Expectaion函数计算出随机变量ξ~Bernoulli(0.5)并将1换成10^7计算出E(ξ)，比较后，机器人得到返回为绿色的函数值并按下了绿色的按钮，然后拭目以待。
   
2. 然后，情况变的复杂了，这是一个灵长类动物——人类来玩这个游戏了。一个人之所以难以捉摸就是因为时刻变化的情感，个性，价值观，还有面对瞬息万变情况的理性或非理性的反应。很难找到一个一成不变的模型来刻画人类的行为，就像Weierstrass函数一样

http://p3.zhimg.com/b5/84/b58428debcc6a2781bf73c3326cd95af_m.jpg100 万，按绿色按钮 50% 几率获得 1000 万，该怎么" TITLE="按红色按钮瞬间获得 100 万，按绿色按钮 50% 几率获得 1000 万，该怎么" />
这样看来，我们需要引入一个不那么一成不变的函数，而且必须是一个族，以便对不同的人不同的情况都能轻松应对自如。 效用函数(Utility Function) 便是我们需要的。通常记为u(ω)，其中ω通常看作是wealth，u(·)则是一个衡量一个人具体怎样看待一定量的财富的数值，通常被称为效用值。因为人们往往忽视了，自己其实不是通过直接对wealth的数值进行比较(ω大小)而是通过该wealth的效用值(u(ω)大小)进行比较，然后再来作出决定的，乍听起来不好理解，我们可以看一下这个函数具有怎样的性质并且是怎样在人身上发挥作用的。

有两个基本的假定：第一，理性人，逐利为首要原则。第二，风险厌恶，对于一般的大众来讲(除非你很特殊)，在确定的损失和具有同样期望值的随机损失之间，他们偏好前者。

一个显然的结论是u(·)非减，因此边际效用(Marginal Utility) u'(·)非负，而边际效用是递减的也即u''(·)非正。说到这里，就可以解释很多人提到的：当你没有100w时，你觉得0和100w区别很大，而当你有1000w时你反而觉得按红色没啥意思了不刺激了，转而去按绿色的按钮，这正是风险厌恶者效用函数的边际效用递减造成的。 感性的认识至此方才找到了理性的根基。

一个典型的风险厌恶者的效用函数如下http://p4.zhimg.com/34/af/34af1d3e500ce729c75e5e82f5f370a4_m.jpg100 万，按绿色按钮 50% 几率获得 1000 万，该怎么" TITLE="按红色按钮瞬间获得 100 万，按绿色按钮 50% 几率获得 1000 万，该怎么" />
这样一个特性的人我们怎么来处理呢？我们想到了关于凸函数的Jensen不等式

http://p3.zhimg.com/6b/17/6b17cd21cedd15156c3b3b7b13102db6_m.jpg100 万，按绿色按钮 50% 几率获得 1000 万，该怎么" TITLE="按红色按钮瞬间获得 100 万，按绿色按钮 50% 几率获得 1000 万，该怎么" /> 此处的E是数学期望，而X是随机变量。

所以，很显然对于一定量的财富w，损失X和凹函数u(·)我们有如下不等式http://p2.zhimg.com/58/54/5854d4f41e070690dfadaf5652f7d8a9_m.jpg100 万，按绿色按钮 50% 几率获得 1000 万，该怎么" TITLE="按红色按钮瞬间获得 100 万，按绿色按钮 50% 几率获得 1000 万，该怎么" />上式正好满足我们的假定，也即在确定的损失和具有同样期望的的随机损失之间，理性人偏好前者，也正是「风险厌恶型」的。

简而言之，虽然我们不能精确的决定一个个体的效用函数，但是可以通过上面提到的性质选择适当的效用函数对其进行拟合。


综上1和2，问题基本得到了解决，收工。

[1] 现代精算风险理论 Modern Actuarial Risk Theory by Kaas, Rob / Goovaerts, Marc / Dhaene, Jan / Denuit, Michel 



--------------------------------补充的分割线---------------------------------------- 201210/17

刚刚去翻了下书《现代精算风险理论》 在第一章中有基于效用函数簇类似本题的情况发生

Allais悖论(又称阿莱悖论)

关于这个Allais悖论 维基上面是这么写的

http://p3.zhimg.com/f7/31/f731abdae4d4a8aa301a662735c832a9_m.jpg100 万，按绿色按钮 50% 几率获得 1000 万，该怎么" TITLE="按红色按钮瞬间获得 100 万，按绿色按钮 50% 几率获得 1000 万，该怎么" />阿莱悖论（Allais Paradox）是决策论中的一个悖论，由法国经济学家莫里斯·阿莱斯在1952年提出。

对100人测试所设计的赌局：1952年，法国经济学家、诺贝尔经济学奖获得者莫里斯·阿莱斯作了一个著名的实验：

• 赌局A：100％的机会得到100万元。
• 赌局B：10％的机会得到500万元，89％的机会得到100万元，1％的机会什么也得不到。

实验结果：绝大多数人选择A而不是B。即赌局A的期望值（100万元）虽然小于赌局B的期望值（139万元），但是A的效用值大于B的效用值，即：
http://p1.zhimg.com/0b/42/0b42fe01bb6f39228a45c20ff8ce099c_m.jpg100 万，按绿色按钮 50% 几率获得 1000 万，该怎么" TITLE="按红色按钮瞬间获得 100 万，按绿色按钮 50% 几率获得 1000 万，该怎么" />......【1】 

然后阿莱使用新赌局对这些人继续进行测试，

• 赌局C：11％的机会得到100万元，89％的机会什么也得不到。
• 赌局D：10％的机会得到500万元，90％的机会什么也得不到。

实验结果：绝大多数人选择D而非C。即赌局C的期望值（11万元）小于赌局D的期望值（50万元），而且C的效用值也小于D的效用值，即：
http://p2.zhimg.com/1d/38/1d3846b4395c7f4d88c316abf5cca097_m.jpg100 万，按绿色按钮 50% 几率获得 1000 万，该怎么" TITLE="按红色按钮瞬间获得 100 万，按绿色按钮 50% 几率获得 1000 万，该怎么" />......【2】

而由【2】式得：
http://p1.zhimg.com/8f/f3/8ff30dc5c7155aee503ec291f92133bd_m.jpg100 万，按绿色按钮 50% 几率获得 1000 万，该怎么" TITLE="按红色按钮瞬间获得 100 万，按绿色按钮 50% 几率获得 1000 万，该怎么" />......【3】
【3】与【1】式矛盾，即阿莱悖论。
阿莱悖论的另一种表述是：按照期望效用理论，风险厌恶者应该选择A和C；而风险喜好者应该选择B和D。然而实验中的大多数人选择A和D。

阿莱悖论的解释
出现阿莱悖论的原因是确定效应（Certain effect），即人在决策时，对结果确定的现象过度重视。