《植树问题》部分教学实录及评析

  　区教学研究周活动中，听了王老师执教的一节课。这节课的教学内容是四年级《植树问题》，是四年级下册数学广角内容。教学中，老师根据教学需要，对教学内容作了相应的调整，把植树问题的三种情况安排在一课时完成；在教学目标的制定上，除了基本的知识目标外，把一一对应、数形结合的数学思想作为探究植树问题思想的重要途径，重点让学生能够运用这些数学思想方法来探索、解决生活中的实际问题。下面，就这节课的主要环节分别作简要点评。

第一环节：课堂导入（课前谈话、渗透思想）

  ［实录］师：同学们，今天老师给大家带来两位好朋友（出示：喜羊羊和美羊羊两种卡通图片）

下面我们分两组进行比赛，看大屏上出现的喜羊羊和美羊羊哪个个数多。

投影1：杂乱出示若干个喜羊羊和美羊羊图片。  第一组学生数完后坐下

投影2：一对一对出示若干个喜羊羊和美羊羊图片，第二组同学数完后坐下。

学生坐下后，老师宣布：第二组获胜。第一组同学不服气。

老师问：为什么呢？

第一组学生：比赛不公平。我们看到的图片太乱了，不好数，也就不好比；给第二组看的图片是一个对一个出示的，一眼就能看出多少了。所以不公平。

师及时评价、总结：是的，一个对一个数，很好比较。再比赛，可以吗？

出示：（为了方便，笔者把喜羊羊用□表示，美羊羊用○表示。）

（１）○□　○□　○□…　○□　　

（２）□○　□○　□○…□○　□（如果有500个□，那么○有？个，生：500-1=499个）

（３）○□　○□　○□…○□　○（如果有500个□，那么○有？个，生：500+1=501个）

学生很快比较多少，师：这种一个对着一个的方法，我们称为一一对应，今天我们用这种方法来研究植树问题。

［评析］：

可以说，一一对应思想，对于学生来说是不陌生的，从小学一年级起学生就有接触，如：一年级上册“比一比”中，四只小兔搬运四块砖，小兔和砖数量是相等的，即一只兔对应一块砖。这应该是最早的一一对应思想的渗透了。

本节课的导入可分为两个层次，第一次的比赛，老师运用学生熟知的动画形象，激发学生兴趣，通过不公平的比赛，“制造”了矛盾冲突，让学生对“一一对应”的思想有种很强烈的刺激，激活了学生已有的数学思想经验。

第二个层次是出示三组比多少的问题。这个环节完成的比较轻松，学生运用刚刚被激活的“一一对应”的思想方法顺利解决了问题，而且正确率高，这就进一步突出了第一层次的作用。到这儿，学生对一一对应的数学思想有了一个新的认识，并能运用这种思想方法解决一些简单的问题，为下个环节的学习作好了思想方法的准备。

［思考］：

数学广角的教学，其基本的教学意图在于向学生渗透一些数学思想方法，本节课的教学目标是向学生渗透植树问题的思想方法，解决植树问题的思想方法是实际生活中应用比较广泛的数学思想方法。植树问题通常是指沿着一定的路线植树，这条路线的总长度被树平均分成若干段（间隔），由于路线的不同、植树要求的不同，路线被分成的段数（间隔数）和植树的棵数之间的关系就不同。在现实生活中类似的问题还有很多，比如公路两旁安装路灯、花坛摆花、站队中的方阵，等等，它们中都隐藏着总数和间隔数之间的关系问题，我们就把这类问题统称为植树问题。如何揭示“总数和间隔数之间的关系”是这节课研究和探索的一个重要问题，也是难点所在。老师在课堂导入前复习“一一对应”的数学思想，笔者认为，主要就是为了让学生更好地来探索总数和间隔数的三种不同的关系作准备。

 

［建议］：

为了造成比赛更为强烈不公平性，突显一一对应，可以让第一组同学数一一对应的，这样他们会很快数好坐下；第二组同学数不对应的，而且数量再多些，让学生不容易数出来，很难坐下。老师宣布第一组获胜，一定会引起更大的纷争，学生对一一对应思想体会会更深。而且，课堂气氛会一下子活跃起来。

 

第二环节：新知探究（动手实践，自主探究）

 

［实录一］：

师：下面我们来模拟植树。

PPT出示：在一条２０米长的小路（一边）上，每隔５米种一棵树（两端要种），一共要种多少棵树？

师：请大家认真读题，然后，在老师发的练习纸上画一画。画之前，请读一读大屏幕上的画图要求。

（PPT出示活动要求：）在作业纸上（画有一条20米长的小路示意图）用“※”表示小树，用“　”表示间隔，画一画，这条路上可以栽几棵树。（学生活动，老师巡视。）

交流汇报：学生画出的图形，主要是“※　※　※　※　※”。

师：你种了几棵树？生：5棵。种一棵树画一个间隔，再种一棵树，又画一个间隔，…最后种一棵树，没有间隔。

师：用一个对一个方法比较，是树多还是间隔多呢？生：树多。（教师根据学生的回答，用PPT动画演示树和间隔的对应关系，让学生更清楚地认识到，这种方法植树，树的数量比间隔多一，从而对植树问题中总数与间隔数的关系有比较清晰的认识）

师：怎样求间隔数和棵数？生：20÷5=4（个）  4+1=5棵（生答师板书）

［评析］:

这个教学环节是老师为了降低例1的教学难度而设计的“过渡题”。由于题目中的数据不大，学生在画图、计算上会相对容易一些，这样，就有更多的时间去思考。在这个环节中，学生画图和回答时，都能自觉运用“一一对应”的思想，画图时，先画一棵树，再画一个间隔，直到最后画一棵树，不画间隔，这样，学生就深切体会到，两端都种树时，最后种的这棵树后面没有间隔了，也就是树的总数比间隔数多了一个，不用老师语言的描述，在画图过程中，在一一对应后，自然形成的结论，这样的结论学生会记得清，记得牢，也不怕忘，一旦忘记了，只要再画一画，就清楚了。这个环节的设计还有一个要提到的就是“画图法”，这也是本节课要渗透给学生的一种解决问题的思想方法（数形结合的思想）。老师出示题目后，没有着急用PPT演示，而是给学生提供了学习纸，在纸上，画有一条路，让学生“模拟植树”，虽然这不是真实的植树，但学生在画的过程中，也体会到植树中的数学问题：种一棵要有一个间隔，一棵树和一个间隔是一一对应出现的，如果不对应，那就会出现棵数多1，而这一点恰好是植树问题关键所在。往往我们教学到这上环节时，老师都会不自觉地让学生（或老师自己）总结出树总数与间隔数之间的关系“棵数=间隔数+1”，这样学生就可以利用这个关系式去“解决”问题了。本节课上，老师没有让学生总结，而是出示了例题。

 

［思考］：这是新课教学的第一个环节，在这个环节上，学生通过作图，运用一一对应思想，发现了树的棵数比间隔数多1的规律。那么，有了这个规律，是不是就可以应用它来解决问题了呢？很多的教学实践证明，即便学生发现了规律，在应用时，大部分学生还不能自觉运用这个规律，学生不能将这个知识结构的逻辑起点与自己的认知起点相互结合。所以，借助图形来帮助学生建构，用“图形”这个拐杖，将“发现规律”与“运用规律”链接起来，是这节课另一关注点。

 

［建议］：一，过渡题不严谨，缺少了“一边”和“两端都种”这两个重要条件。如果没有这两个条件的话，这道题的答案就很多了，不适宜用作过渡题了。二，虽然不出现树的棵数与间隔的关系式，但还是要让学生用自己的话说一说，而且，能多让几个学生说一说这样的规律，有利于更多的学生建立题关于植树问题的数学模型，也为进一步探究奠定基础。

 

［实录二］：

师：那如果小路有100米长呢？你能在图上画一画一共能种多少棵树吗？（一生在黑板上画图，其他学生在练习纸上完成）

（黑板上，老师课前画好了100米路的示意图“==== ==” ）

学生活动：学生在练习纸上尝试画图；老师让一学生在黑板上板演：她画一棵树，再画一个间隔，画到省略号处，跳过去，再接着画一棵树，再画一个间隔，直到画上最后一棵树。

等大部分学生完成后，老师组织学生全班交流，并用PPT动画再次出现“植树”过程：画一棵树，画一个间隔，…最后画一棵树。

师：是树多还是间隔多呢？生：树的总数量还是比间隔数多一，因为最后一棵树后面没有画间隔了。

师：那怎样列式呢？生：100÷5=20（个）20+1=21（棵）。

师：20是什么？为什么要加l？生：20是间隔数，一棵树对一个间隔，最后多一棵树，所以要加上一。

 

［评析］：

这个教学环节只是把过渡题中的数据进行了更换，从难度上来说，有所增加，但也只侧重于计算层面，在思维层面，其难度与过渡题相当。在教学中，老师没有因为其思维难度与过渡题相当就一带而过，当提高练习用，而是与过渡题采用了相同的教学方式：学生尝试画（画出部分图形）、一一对应去数、学生板演、PPT动画等，让学生再次对一一对应思想、对画图的方法记忆深刻，为学生独立运用这两种思想方法来探究另两种植树问题打下坚实的基础，关键是作好了思想方法的准备。笔者认为，这样的重复，关注了大部分学生的接受能力，是有必要的，也是必须的，因为学生在发现新的规律后、在形成新的知识体系时，需要经过一个整理与建构的过程。

 

［思考］：

这是新课例题的教学，根据教材的编写意图，应当先让学生凭直觉试算、然后通过画图从简单数据进行验证探究、在探究中发现规律、再运用规律来解决问题。本节课由于教学目标定位有所变化，由单纯研究两端植树的问题，拓展到三种植树问题都要研究，再有就是，在研究过程中，让学生掌握探究的方法，对规律的揭示不作过高要求，只要学生能够通过画图，用对应的思想理解规律就可以了，就算达到教学要求了。

 

［建议］：

1、题目中依然要强调是“一边”植树和“两端都种”。

2、规律的揭示尽量由学生口中说出。

3、老师在学生探究活动时，要加强指导，特别是学困生的指导。

 

［实录三］：

师：同学们真聪明，运用了一个对一个的方法，通过画图模拟植树，解决了这个植树问题。那么，下面同样是在100米长的路上种树，有什么不一样？（PPT出示下面图）

 

 

 

 

 

生：有房子的地方不能种树。

 

师：是的，也就是一端植树（板书在图前），刚才那种是两端植树（在上幅图前补上板书），那下面这种呢？师生异口同声：两端不植树（板书）。

师：两端种树，树比间隔多一，那么，下面两种会是怎样的呢？请同学们运用刚才的方法，在纸上再画一画，并在小组内讨论讨论。

学生活动（略）

学生汇报1，老师PPT动画结合学生回答，出示间隔与树，一个间隔，一棵树，一个间隔一棵树，直到最后都是符合这个规律，所以，间隔数与树的总数是一样的。列式：100÷5=20棵（20段也就有20棵树）

学生汇报2：老师PPT动画结合学生回答，出示间隔与树，一个间隔，一棵树，一个间隔一棵树，直到最后，多一了个间隔，后面是房子，不能种树了，说明，间隔数比树的总数多一。列式：100÷5=20（个） 20-1=19棵。

 

［评析］：

听了许多植树问题的课，第一课时，一般只教学例1-----两端植树问题。在这节课上，老师有意识把另两种植树问题一并出现，而且，是让学生根据自己掌握的方法，自己去讨论、研究，学生通过画一画，一个对一个地去数，发现新的规律，并能应用发现的规律，解决了问题。这个环节的教学可以起到“试金石”的作用，是对前面所有教学思想、教学方法渗透效果的一次检验，由于前面学生在数和画的过程中，已经熟谙间隔与树棵数对应关系，所以，对一端不能植树、两端都不能植树时，间隔与树棵数之间的关系很容易找到规律，并能解决这两个问题，实现预设的教学目标。

 

［思考］：教师能够大胆把另两种植树问题作为学生自主探究的内容，让学生自己去发现规律、总结规律、解决问题，笔者认为有两个基础，一是，教学题材的一致（100路边植树）性，使得学生思考问题时，不用重新解读，只需要辩别差异性，降低了学生思考问题复杂程度；二是，学生从本节课第一环节起，就对一一对应思想有很了深切的体会，又在新知探索过程中，掌握了画图模拟植树的方法。值得研究的是，如果在练习中，把“树”的题材换成别的，学生还能不能自觉应用所掌握的思想方法呢？笔者认为，是有一定的难度的。

    这也是新课学习的最后一个环节，老师没有把学生总结出的植树问题的三种情况的关系式板书出来，我觉得也是这节课的一个突破，没有用文字呈现不表示没有总结、归纳、概括，老师是尽量让学生通过数、画的方式，把关系式内化为学生已有知识体系之中，即便是关系式因为记忆造成遗忘、缺失、混淆，也可以再次通过画一画、数一数的方法重新找出规律来，把数学学习由学习结论转变为学习方法，这是一次比较成功的挑战。

 

  ［建议］：为了避免出现对题材单一造成的思考难度，可以在这个环节前，增加一个巩固练习环节。如：教材P119做一做第1题：在一条全长2千米的街道两边安装路灯（两端也要安装），每隔50米安一座。一共要安装多少座路灯？这道练习题不是简单的重复、模仿，它有两个新的知识点，一是把“树”换成了“路灯”，是对植树问题题材涉及范围的拓展；二是由原来的一边变成了两边，增加了思维难度，在思维深度上的有所提高；也为后面巩固练习题的中出现“钟声、车站、锯木头、上楼梯”等题材的出现，作好思想上的准备。应该说是一道比较好的练习题，很适合安排在此环节前练习用。