最近有朋友提如下一个问题：

【问题】设函数f(x)在区间[a,b]上连续，当n=0,1,2,3,……，N时，恒成立有∫{a→b}(x^n)f(x)dx=0 。试证明函数f(x)在区间[a,b]上至少有N+1个零点。

　　在我的记忆中，上世纪七十年代末期我负责校考研辅导时从“苏联”大学生奥数资料中搜集到过此题。

　　因为觉得太过繁琐，就把它简化为思路类似，证明过程尽管仍然蛮噜苏，但要简单得多的N=1的特殊情况，即

【问题特例】设函数f(x)在区间[a,b]上连续，且成立有

（1）∫{a→b}f(x)dx=0

（2）∫{a→b}xf(x)dx=0 ；

试证明函数f(x)在区间[a,b]上至少有2个零点。

　　并在2002年，我在主编考研辅导书《高等数学例题与习题》一书时，把他从我历届的考研辅导资料中整理搜集了进去。

　　这里不再对【问题特例】作讲解了，只对原“苏联”大学生奥数试题的解答从“大脑记忆库”中“调”出来，整理发表如下。