高阶无穷小的导数与积分_山路水桥

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高阶无穷小的导数与积分

(2013-12-14 19:35:32)

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分类：高数考研答疑室

【问题】函数f(x)可导，x趋于0时，f(x)=o(x平方），怎么证明（x趋于0时）
（1）f'(x)=o(x)；
（2）积分（0到x)f(x)dx=o(x三方）。

【问题出处】http://iask.sina.com.cn/b/22517669.html

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【问题来源2013-12-29】http://iask.sina.com.cn/b/22530522.html

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【问题来源2013-12-29】http://iask.sina.com.cn/b/22530405.html

把呼啦圈问题转变一下模式，就可以变成内摆线问题。如下特例中内摆线蜕化为一直线段：

　　一个“运动的”小圆在“固定的”大圆内作无滑动的滚动，若大圆半径是小圆半径的两倍，求“动小圆上一个定点”的轨迹。

【问题网址】http://iask.sina.com.cn/b/22530405.html

【解】记大圆半径为2R,记大圆圆心为Ｏ，小圆与大圆的切点恰是小圆上定点的该点为A。

以Ｏ为坐标原点，OA为x轴建立平面直角坐标系。

　　当小圆圆心绕大圆的公转为α角时，记小圆大圆切点C，显然OC就是小圆的直径。

　　设此时小圆上定点运动到D，由于只有滚动没有滑动，所以【CD弧=CA弧=2Rα】，于是就有“CD弧”的圆心角∠CPD=2α。

　　若记动圆与x轴的交点为D'，由于OC是小圆的直径，所以OD'⊥CD'，于是∠CPD'=2α。而D和D'都在小圆上，所以D和D'重合。

　　即小圆上定点D的运动轨迹是一条直线段，它就是大圆落在x轴上的一条直径。

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【问题来源2013-12-29】http://iask.sina.com.cn/b/22530585.html

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