加载中…【数学小品】蚂蚁爬行的最短路程
(2013-10-07 16:01:00)
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正四面体蚂蚁最短路程几何模型参变量校园 |
分类： 中学数学答疑室 |
【问题】在正四面体ABCD中，棱长为1，P、Q分别为棱AB、CD上的点，且AP＝CQ＝λ。一只蚂蚁从正四面体表面上从点P爬到点Q，求其最短路程。
【解答】从题意看这个最短路程d应该与λ有关。把以AC（或BD）为边界的相邻两个侧面展开为平面图，
【1】当0≤λ≤1/2时，P经过棱AC上M到达Q，
那么当且仅当P、M、Q三点共线时取得最小距离，（明显看出PM'+M'Q＞PQ=PM+MQ）。作AR∥PQ，则最短距离
d=PQ=AR=√[AC^2+CR^2-2*AC*CR*cos(60°)]=√(4λ^2-2λ+1)。
【2】当1/2＜λ＜1/2时，P经过棱BD上M到达Q，
那么当且仅当P、M、Q三点共线时取得最小距离，（明显看出PM'+M'Q＞PQ=PM+MQ）。作BR∥PQ，则最短距离
d=PQ=BR=√[BD^2+DR^2-2*BD*DR*cos(60°)]=√[1+4(1-λ)^2-2(1-λ)]=√(4λ^2-6λ+3)。
【附注】这里λ是给定的常数，0＜λ＜1，所以这个最短路程d应该与λ有关。这个λ就是所谓的“参变量”。在求 最短路程d 时，要把它看作常数。
【如果再附加一个小题：当λ取何值时，最短距离d有最小值？】
那么这就彻底是另外的问题了，因为
当0＜λ≤1/2时，d=√(4λ^2-2λ+1)=√[(2λ-1/2)^2+3/4]，所以λ=1/4时，d|min=√3/2。
当1/2＜λ＜1时，d=√(4λ^2-6λ+3) =√[(2λ-3/2)^2+3/4]，所以λ=3/4时，d|min=√3/2。
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