加载中…数学小品：能剪几个三角形？
(2013-09-20 18:55:05)
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数学小品正八边形n8个点剪出多少三角形校园 |
分类： 中学数学答疑室 |
【问题】在一个正八边形的纸片上有异于顶点的100个不同的点，现在剪出以这100个点和八边形的8个顶点为顶点的三角形，最多能剪出多少个三角形？最少可以剪多少个三角形？
【解答】我们这里给出一个更一般的结论“在一个正八边形的纸片上有异于顶点的n个不同的点，现在剪出以这n个点和八边形的8个顶点为顶点的三角形，最多能剪出6+2n个三角形，最少可以剪6+n个三角形”。
用数学归纳法：
初始验证：n=0时，结论显然成立，能且仅能剪出6个三角形纸片。
通项假定：若当n=k时，结论正确，即最多能剪出6+2k个三角形，最少可以剪6+k个三角形。
渐进递推：第k+1个点如果落在正八边形的某条边上，那么能且只能比n=k时多剪出1个三角形纸片，所以最少可以剪(6+k)+1即6+(k+1)个三角形。
第k+1个点如果不是落在正八边形的某条边（不妨成为“周边”）上时，那么这点无论在哪个三角形内，还是在“内边”（区别于“周边”）上，能且只能比n=k时多剪出2个三角形纸片，所以最多可以剪(6+2k)+2即6+2(k+1)个三角形。
那么结论在n=k+1时也成立。【证毕】
具体地说本题n=100，在一个正八边形的纸片上有异于顶点的100个不同的点，可以剪出以这100个点和八边形的8个顶点为顶点的三角形，最多206个，最少106个。
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