有限次特殊操作后是否会出现100_山路水桥

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有限次特殊操作后是否会出现100

(2013-09-16 21:38:08)

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分类：中学数学答疑室

【问题】对于任意一个自然数n，当n为奇数时，加上121，当n为偶数时，除以2，这算一次操作。那么经过连续有限次操作后是否会出现100，什么情况下永远不会出现100？为什么？

【解】设每次操作产生“数列”的一个项，那么这个数列注定不是单调的，

　　A(n)是偶数时，A(n+1)＜A(n)；

　　A(n)是奇数时，A(n+1)＞A(n)；但是对于大于121的奇数A(n)，总有A(n+2)＜A(n)；

　　所以无论A(1)有多大，经过有限次操作后会进入242之内，再也不会超过241【即存在K，对一切k＞K，都有A(k）≤241】。

　　看下表，只要研究了　1,3,5,7,……,121　这61个奇数经过有限次操作后的结果结论就可以明确了，这样的操作下要么得到了100（操作结束）。要么出现了循环，结论也明确了。

① 25→146→73→194→97→218→109→230→115→236→118→59→180→90→45

→166→83→204→102→51→172→86→43→164→82→41→162→81→202→101

→222→111→232→116→58→29→150→75→196→98→49→170→85→206→103

→224→112→56→28→14→7→128→64→32→16→8→4→2→1→122→61→182

→91→212→106→53→174→87→208→104→52→26→13→134→67→188→94

→47→168→84→42→21→142→71→192→96→48→24→12→6→3→124→62

→31→152→76→38→19→140→70→35→156→78→39→160→80→40→20→10

→5→126→63→184→92→46→23→144→72→36→18→9→130→65→186→93

→214→107→228→114→57→178→89→210→105→226→113→234→117→238

→119→240→120→60→30→15→136→68→34→17→138→69→190→95→216

→108→54→27→148→74→37→158→79→200→100【操作结束】。

②11→132→66→33→154→77→198→99→220→110→55→176→88→44→22→11【结论明确】。

③ 121→242→121【结论明确】。

【结论】①当某个A(k)=11,33,55,77,99,121时，这6种情况下无论操作多少次都得不到100，其它55种情况下都能得到100。

②只要A(1)不是11的倍数结论肯定能得到100，若A(1)是11的倍数就一定得不到100。

③任意A(1)在这种操作下永远得不到100的概率是1/11，能得到100的概率是10/11。

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