周期函数一个精巧的充分条件_山路水桥

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周期函数一个精巧的充分条件

(2011-09-03 23:10:57)

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分类：中学数学答疑室

【问题】若对于任意的实数x、y，总成立f(x)+f(y)=2f(x/2+y/2)*f(x/2-y/2)，并且存在非零数c，使f(c)=0。

　　(1)试证明f(x)为周期函数；

　　(2)若f(x)不是常数函数，求f(100c)的值。

【分析】从这里我们很容易联想到 cosx+cosy=2cos(x/2+y/2)*cos(x/2-y/2)，cos0=1，cos(π/2)=0。

　　而cosx是周期函数，周期T=2π，所以我们可以猜测，符合题意条件的T等于|4c|。

　　于是我们就把f(x+4c)-f(x)=0作为最终目标，为了达到这个目标我们的第一步就是研究f(x+2c)与f(x)之间的关系。

　　如果证得了T=|4c|，只要求出了f(0)，那么就有f(100c)=f(0)。

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