【求证】在任意给定的2011个正整数：a(1)，a(2)，a(3)，……，a(2011)中一定可以找到K（1≤K≤2011）个正整数，使他们的和是2011的倍数。

【证明】设S(n)=a(1)+a(2)+a(3)+……+a(n)，1≤n≤2011。

　　设S(n)除以2011，得到的余数为R(n)，那么这2011个余数只能是：

0，1，2，3,……,2010。

下面分两种情况进行讨论：

　　①如果在这2011个余数中至少有一个为0，例如R(k)=0，那么S(k)=a(1)+a(2)+a(3)+……+a(k)就是2011的倍数；

　　②如果在这2011个余数中没有一个等于0，根据抽屉原理，在这2011个余数中至少有两个余数相等，例如R(m)=R(n)，1≤m＜n≤2011。

　　那么S(n)-S(m)就是2011的倍数，即 a(n+1)+a(n+2)+……+a(m) 就是2011的倍数。