10高考自招复习推荐·数学小品

韩信点兵算法及其原理

【问题】求最小非负整数N，使他在除以3,5,7以后所得余数分别是a,b,c。

【韩信点兵法的口诀】

【韩信点兵法口诀的释义】

　　前三句意思较为明确，假如说一个非负整数N，在除以3,5,7以后所得余数分别是a,b,c。那么70a+21b+15c 一定是符合题意要求的数。
　　第四句“除”字作“减”字解。因为符合要求的最小数N必满足0≤N＜105，但是 70a+21b+15c 却有可能大于105，甚至大于210，所以还不一定是符合要求的最小数。那么当他大于或等于105时，还必须减去105，可能还要再减去105，直到比105小为止，才可以得到符合题意要求的最小数。

【说明】这里105是3,5,7的最小公倍数，70a+21b+15c + 105k 也一定满足“除以3,5,7以后所得余数分别是a,b,c”。

【例如】 a=b=c=2，70a+21b+15c=212，70a+21b+15c-105=107＞105。
而符合题意要求的最小数是 2，即 212-105-105=2.

【再如】 a=2,b=4,c=6，70a+21b+15c=314，314-105=209＞105。
而符合题意要求的最小数是 104，即 314-105-105=104.

【韩信点兵法口诀的原理】
①能被5,7除尽数是35k,其中k=2，即70除3正好余1，70a 除3正好余a。
②能被3,7除尽数是21k,其中k=1，即21除5正好余1，21b 除5正好余b。
③能被3,5除尽数是15k,其中k=1，即15除7正好余1，15c 除7正好余c。

这样——
根据①可知 70a+21b+15c 除3正好余a。
根据②可知 70a+21b+15c 除5正好余b。
根据③可知 70a+21b+15c 除7正好余c。

【韩信点兵法口诀的局限性】只适宜于如题所示的一个极为特殊的问题，要推广到同类问题必须另行制作口诀（即公式）。

【譬如】求最小非负整数N，使他在除以5,7,11以后所得余数分别是a,b,c。

【韩信点兵法口诀的原理】
①能被7,11除尽数是77k,其中k=3，即231除5正好余1，231a 除5正好余a。
②能被5,11除尽数是55k,其中k=6，即330除7正好余1，330b 除7正好余b。
③能被5,7除尽数是35k,其中k=6，即210除11正好余1，210c 除11正好余c。

那么 231a+330b+210c 除以5,7,11以后所得余数一定分别是a,b,c。

根据【符合要求的最小数N必满足0≤N＜385】，所以当 231a+330b+210c 大于或等于385时，还必须减去若干个385 直到比385小为止，才可以得到符合题意要求的最小数。

【说明】这里385是5,7,11的最小公倍数，231a+330b+210c + 385k 也一定满足“除以5,7,11以后所得余数分别是a,b,c”。

【例如】求最小非负整数N，使他在除以5,7,11以后所得余数分别是3,5,7。

【解】231a+330b+210c=231×3+330×5+210×7=3813.

　　因为 3813＞385，所以减去9个385后，得到比385小的 3813-9×385=348 就是符合题意的最小非负整数了。