10自招数学复习推荐试题：跳格子

山路水桥在http://iask.sina.com.cn/b/15848191.html的解答

azure blue ： 设坐标平面内有一个质点从原点出发，每次沿坐标轴

正方向或负方向跳动一个单位，经过10次跳动，质点落在（2，4）点

处，则质点不同的运动方法有多少种？

山路水桥 ：若我们用四个向量(1,0)、(-1,0)、(0,1)、(0,-1)分别

对应于“向右一步、向左一步、向上一步、向下一步”的跳跃动作。

　　则我们可以把原来的问题进行“向量化”：在上述四个向量里可以重复地取出10个，达到使“它们的和向量为(2,4)”的目的。

　　所以在这10向量里至少有两个(1,0)和4个(0,1)。

　　先不考虑排列，只从组合的角度看，有三种可能的向量加法运算：

①(1,0)+(1,0)+(1,0)+(1,0)+(0,1)+(0,1)+(0,1)+(0,1)+(-1,0)+(-1,0)=(2,4)；

②(1,0)+(1,0)+(1,0)+(0,1)+(0,1)+(0,1)+(0,1)+(0,1)+(-1,0)+(0,-1)=(2,4)；

③(1,0)+(1,0)+(0,1)+(0,1)+(0,1)+(0,1)+(0,1)+(0,1)+(0,-1)+(0,-1)=(2,4)。

　　对于①，在10个项的位置里取4个项为(1,0)，在余下的6个项的位置里取4个为(0,1)，余下两项的位置就全都是(-1,0)。此时，所以不同的排列方法有C(10,4)*C(6,4)=3150种；

　　对于②，在10个项的位置里取3个项为(1,0)，在余下的7个项的位置里取5个为(0,1)，余下的2个项的位置上取一个(-1,0)，最后一项就是(0,-1)。此时，所以不同的排列方法有C(10,3)*C(7,5)*C(2,1)=5040种；

　　对于③，在10个项的位置里取2个项为(1,0)，在余下的8个项的位置里取6个为(0,1)，余下两项的位置就全都是(0,-1)。此时，所以不同的排列方法有C(10,2)*C(8,6)=1260种。

【结论】质点的跳跃运动共有3150+5040+1260=9450种不同的方法。