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图一

图一

图三

图四

【问题】在正方形内画分别1个、2个、3个、4个三角形，最多能将正方形分成几块？能不能推而广之，得到更一般的结论。

【解】在正方形内画1个三角形，最多能将正方形分成4块，如图一，三个顶点在三条边上；

在正方形内画2个三角形，最多能将正方形分成13块，如图二，第二个三角形，每边与原一个三角形2条边相交，将正方形多分出3个部分，这样3条边又可将原图多出9个部分；

在正方形内画3个三角形，最多能将正方形分成28块，如图三，第三个三角形，每边与原两个三角形4条边相交，并且没有三条直线共点，又将正方形多分出5个部分，这样3条边又可将原图多出15个部分；

在正方形内画4个三角形，最多能将正方形分成49块，如图四，第四个三角形，每边与原三个三角形6条边相交，并且没有三条直线共点，又将正方形多分出7个部分，这样3条边又可将原图多出21个部分；


【结论】利用数学归纳法可以证明，在一张正方形纸上画n个三角形，最多可以把这个正方形分成f(n)=3n^2+1块.

　　在上面的基础上，我们设结论在n=k时成立，即在一张正方形纸上画k个三角形，最多可以把这个正方形分成3k^2+1块.

　　那么，画第k+1个三角形，每边与原k个三角形2k条边相交，并且没有三条直线共点，又可将正方形多分出2k+1个部分，这样3条边可以将原图多分出6k+3个部分，一共可分出3k^2+1+(6k+3)=3(k+1)^2+1。