山路水桥之博客的主业是考研（高等数学）辅导，副业是高考、中考答疑，甚至也为小学生做“作业指导”。

　　业余是“乱弹江山，调侃自己，忽悠朋友，粪土当今万户侯”。

【问题】

若实数a、b、c满足a≤b≤c，且ab+bc+ca=0，abc=1，求使|a+b|≤k|c|总成立的最小k值。

【解】

　　题意条件ab+bc+ca=0说明a、b、c中至少有一个不大于0；

　　题意条件abc=1，说明a、b、c中必有两个负数，一个正数；

　　这样，条件a≤b≤c就可以更明确为a≤b＜0＜c。

　　为了运算方便，记x=-a，y=-b，z=c，那么x、y、z就全是正数了。而题意条件就被转化成了：

　　①xz+yz=xy，

　　②xyz=1。

　　由②可得xy=1/z，由①可得x+y=1/z^2。根据二次方程根与系数之间的关系，即韦达定理可知：x，y就是方程

u^2-(1/z^2)u+(1/z)=0

的两个正数解。从而可知必须有

△=[-(1/z^2)]^2-4×1×(1/z)≥0，即1/z^3≥4.

　　由于|a+b|≤k|c|等价于x+y≤kz，也等价于1/z^2≤kz，或等价于1/z^3≤k.要使|a+b|≤k|c|成立，就是使z^3≤1/k，那么k最小只能取4.

【注】如果有ｋ取得再小一点（即k＜4），如果结论|a+b|≤k|c|，即x+y≤kz还能成立，就必然会导致1/z^3≤k＜4。这样一来，上述二次方程的判别式△≥0就不成立，那么满足条件的实数也就不存在了。