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中考几何答疑：距离

提问者

佳佳

http://iask.sina.com.cn/b/15347696.html

【问题】以三角形ABC的边AB和AC为边分别向形外作正方形ABDE,ACFG,连BG和CE,两者于P.己知BC=a,CA=b,AB=c.求AP

【解答】利用s.a.s条件可证△ABG≌AEC，所以∠ABG=∠AEC。

可知P、B、D、E、A五点共圆，类似地P、C、F、G、A五点共圆。

记两个圆的圆心分别为M、N，则MP=MA=c/√2,NP=NA=b/√2，
∠MPN=∠MAN=90°+∠A。

四边形MPNA面积=MA*NA*sin∠MAN=MA*NA*|cos∠A|
=(c/√2)*(b/√2)*(|b^2+c^2-a^2|/2bc)
=|b^2+c^2-a^2|/4。

MN^2=AM^2+AN^2-2*AM*AN*cos∠MAN=AM^2+AN^2+2*AM*AN*sin∠A
=[b^2+c^2+4S△ABC]/2

={b^2+c^2+√[(a+b+c)*(b+c-a)*(c+a-b)*(a+b-c)]}/2。

AP=2*(四边形MPNA面积)/MN
=|b^2+c^2-a^2|/√【2*{b^2+c^2+√[(a+b+c)*(b+c-a)*(c+a-b)*(a+b-c)]}】