高考紧急答疑：立体几何三棱锥

提问者：小彩鸟(今天19:06收到)

解答者：龚成通(今天19:55上传)

【问题】

　　已知：在三棱锥P-ABC中，棱PA和BC所成角为60°，PA=BC=2，E、F分别是棱PB、AC的中点。
　　求：EF之长。

【疑惑】

　　本题有两个答案，而老师只能解释其中的一个答案，没有办法解释另外一个答案。

【山路水桥释疑】

　　根据本题情况，我们最后得到了“两个解”——这两个解，构成了“一个完整的答案”。但是，我们不能把他称为“两个答案”，就好像我们不能把“二次方程在一定条件下的两个解”称为“二次方程的解在一定条件下有两个答案”一样。

【解答】

　　因为棱是没有方向性的，所以在△ABC确定的条件下，顶点P完全可能有如下两种情况，如上图蓝色和黑色所示的那样。

　　取AB中点为G，连接GE、GF，则GE∥PA，GF∥BC，所以GE=PA/2=1，GF=BC/2=1。

　　如蓝色P点所示∠EGF=60°，所以△EGF是正三角形，于是 EF=1。

　　如黑色P点所示∠EGF=120°，所以△EGF不是正三角形，而有 EF=√3。