加载中…高考数学答疑：概率知识使将军赢得一场赌局
(2009-04-21 17:57:21)
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高考09高考高考数学龚成通答疑概率论同一天生日教育 |
分类： 中学数学答疑室 |
《龚成通·高考数学答疑室》特快专递
概率知识使将军
赢得一场赌局
【问题】有多少个人可以保证其中至少有2个人生日相同的概率不小于50%？
【答题要求】可以不求出具体值，但必须要有正确的解题过程。
【先讲个将军与士兵赌博的故事】一场关键战斗胜利后，将军请40位立功士兵吃饭，酒过三巡，大家都有几分醉意，没大没小地与将军猜拳行令。
将军忽发奇想，“谁愿意和我赌，这里包括我在内一共41个人中，我说在这41个人中至少有两个人的生日相同。”
大家问：“怎么赌？”
将军说：“如果这里的41个人生日全都不一样，就算是我输了，那么我就给愿意和我赌的朋友100元（当然是美金）。否则，你就输给我100元。”
大家面面相觑：将军醉了？还是想用这个有趣的方法给大家发奖金？41个人中会有两个人生日相同？不可能有那么巧啊！
大家全都表示愿意和将军赌一下，并笑着对将军说：“4000元你是输定了，我们可是只要现金，不要你的支票！”
于是，每人摸出100元美金，写上自己的名字和生日，压在酒杯底下，服务生拿来一块粉牌，把40个士兵的生日逐个抄上，竟然全部不相同，大家正准备鼓掌，服务生抽出将军杯子底下的纸币惊呆了，将军请服务生把这张纸币给士兵们传阅。
“啊！将军竟然和我是同一天生日。”一个士兵尖叫。
将军收起自己的一百元，把其余的4000元交给服务生，“今天我身上只带了100元，今晚这顿饭4000元够了吧？”
大家再一次惊叹，“将军啊，你的运气真好！”
将军哈哈大笑，“那来什么运气，你要问我是怎么样赢大家的呢？因为我学过概率论，我可以十拿九稳地相信自己能赢这场赌局。”接着又像是演讲了，“我们这一仗，打得这么漂亮，当然是靠了你们的勇敢。但是，嘿嘿，我的战术安排全是凭概率论计算出来的结果制定的。你们回队后统统去读大学，升了将军，打了胜仗，请你们的士兵吃饭，由他们自己买单。”
全场鼓掌，读大学，学概率，打胜仗，士兵买单请吃饭。
【问题的解】若有n(≤365)个人，要计算出“他们中至少有2个人生日相同的概率”方法如下：
先算出他们生日全都不同的概率
Q(n)=(364/365)*(363/365)*(362/365)*……*[(366-n)/365]
那么至少有2个人生日相同的概率就是
P(n)=1-Q(n)=1-(364/365)*(363/365)*(362/365)*……*[(366-n)/365]。
然后按照题意的要求，求不等式P(n)≥50%的解，就可以得到满足题意要求的n（按照原题的答题要求，解题到此完毕）。
【说明】
如果真要解不等式P(n)≥50%还不是一件很容易的事，所以，我觉得你们学校的这份试卷的解题要求还是相当“恰到好处”的。
当然这个不等式还是可以求解的，只要通过查表法，就可以得到其解为n≥23。而这张表，就是利用了上面的计算公式制作出来的。
至于那位将军为什么会大胆地去赌？他“十拿九稳”的根据就在这张表里：41个人中至少有两个人生日相同的概率为90.32%。
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