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高考数学答疑：大楼究竟应该造几层？
(2009-02-26 20:49:50)
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分类： 中学数学答疑室 |
在《周末推荐高考数学试题（之四）》一文中，本博让大家思考如下问题：
这里对最佳方案的最初的理解，自然是：
花钱要最省，大楼的建筑面积要最大。
但是，这两个目标是相互制约的两个对立面。所以我们要想得更深入一些，这样我们就对最佳方案有了新的认识：
要么是在投入的钱确定的条件下，要使大楼的建筑面积尽可能大；
或者是在需求的建筑面积确定的条件下，要使投入的钱尽可能少。
这样我们就得到对最佳方案最终目标认识：
必须使每平方建筑成本最低。
有了这样的思考过程，我们的目标函数就确定了：就是“每平方建筑成本”即“单位面积造价”（最小）。而我们的控制变量是“大楼造几层”（？）。
下面我们就根据题意条件，建立“单位面积造价Y”与“大楼层数N”之间的函数关系：
设大楼共建造N层，每层的面积都是S，则总建筑面积为NS，根据等差数列求和公式可得：
总成本为 C=3000S+800SN+50S[N(N-1)/2] ，
所以单位面积造价为 Y=C/(NS)=3000/N+775+25N 。
又根据均值不等式，可得
Y=C/(NS)=3000/N+775+25N≥775+2*{开平方根[(3000/N)*(25N)]} 。
这里，当且仅当 25N=3000/N，即 N＝10.9544511……时，Y 最小。
但是楼层数必须是正整数，所以我们还要认真比较
Y(10)=1325，Y(11)=1322.727……，
二者之间的大小。
最终根据 Y(11)<Y(10)
，确定“该大楼应该造11层”的方案为最好。
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附：《自招面试——吓唬人的纸老虎》
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的解答——
原式＝(2010/1)(2011/2)(2012/3)(2013/4)……(4016/2007)
×[1-(2008×2009)/(2008×2009)]
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