有趣的二进制数

在我这个高考外行眼里，觉得这是一个很适宜自招考试的话题

声明：

　　本人对考研数学的辅导有较深入的研究，说我是“应试教育专家”、“辅导专家”我也就不过分谦虚了。

　　但是对于高考数学，“答疑工作”也许还能勉强而为之，要说到“辅导工作”那确实是绝对不行的。对高考数学试题的“评价”也是心血来潮的乱弹，请专业人士不要对我所讲的太认真。

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　　最近接连在网上回答了两个关于二进制数的问题，觉得很有趣的，如果把这种问题作为自招考题，我觉得倒是挺合适。
　　这样的问题难度不高，但是你没有一点二进制的知识恐怕也不是轻易能解的。

问题一
http://iask.sina.com.cn/b/14643194.html

　　把一个数的数码顺序倒过来，所得新数叫做原数的“反序数”。例如2009和9002就是互为反序数。
如果一个数等于它的反序数，则称这个数为“对称数”。例如20902就是一个对称数。
　　不超过2009的最大的二进制对称数是几？

　　解答　因为　2009=2^10+2^9+2^8+2^7+2^6+2^4+2^3+1。
　　所以　2009(十)=11111011001(二)，
　　而这个11位的二进制数不是对称数。
　　如果取他的前六位111110（二）为基准，可构造得到的以“第六位数”为“对称中心”的对称数是11111011111(二)。但是他比11111011001(二)大，显然这是不符合要求。
　　比前六位111110(二)稍小一点的二进制数就是111101(二)了。以他为基准，可以构造出满足题意要求最大对称数是11110101111(二)。

问题二
http://iask.sina.com.cn/b/14643125.html

　　在一次游戏活动中，老师要大家把1000颗糖分成若干堆，要求堆数尽量少。但是总能够从这些堆里取出其中的几堆，使糖的总颗数刚好等于老师任意所说的不大于1000的某个正整数。试问这1000颗糖，应该如何分？

　　解答　本题要用二进制来解决，我们知道小于1000的2^n次幂有：

1，2，4，8，16，32，64，128，256，512。

　　假如我们分出9堆，各堆糖的颗数恰好分别是：1，2，4，8，16，32，64，128，256。也就是二进制的1，10，100，1000，10000，……，100000000。
　　从二进制的角度很容易说明，在这九堆糖里取出其中一堆或几堆使糖的总颗数等于1，10，11，100，101，110，111，1000，1001，1010，1011，1100，1101，1110，1111，……，111111111。
　　从十进制看，在这九堆糖里取出其中一堆或几堆使糖的总颗数等于1，2，3，4，5，6，7，8，9，……，511。
　　但是我们这样分法还剩下489颗糖，就把他作为第十堆。当老师讲的数字超过489时，我们就先取出第十堆，不足部分已经不会超过511颗，在前九堆里就足够能取到了。

　　所以具体分堆方法是：
　　第一堆有1颗糖；
　　第二堆有2颗糖；
　　第三堆有4颗糖；
　　第四堆有8颗糖；
　　第五堆有16颗糖；
　　第六堆有32颗糖；
　　第七堆有64颗糖；
　　第八堆有128颗糖；
　　第九堆有256颗糖；
　　第十堆有489颗糖。

　　对于上面理论上证明还不清楚的话，我们再举具体例子说明，但是一定要用到二进制数的工具。
　　如果老师说的数不大于511的数，应该可以在前九堆中取若干份就能取齐。方法是将这个十进制数写成二进制表达形式：

1，10，11，100，101，110，111，……，111111111。

从末尾数起，k位是1，就取第k堆，k位是0，就不取第k堆。

　　譬如老师说405，我们就写出：405（十）=110010101（二）。
　　我们从末尾数起，只有第一、三、五、八、九位是1，所以可以取第一、三、五、八、九堆，就刚好取齐405颗糖。
　　如果老师说的数超过了511，先把第十堆489取上，剩下需要取的数都不大于511了，可以在其他九堆中取齐。

　　譬如老师说673，超过了511，我们就先把第十堆489颗取上，剩下需要取的数184。写出：184（十）=10110111（二）。
　　再要取出第一、二、三、五、六、八堆，加上已经取的第十堆就刚好取齐673颗糖。