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“几何概型”趣题/红线蓝线问题
(2008-03-01 21:32:36)
标签：
教育几何概型趣题思维定势 |
分类： 中学数学答疑室 |
《思维定势》续谈
公交蓝线红线问题
的正确解释
在我2月26日发表的《前9次抛掷硬币都是正面朝上,第10次呢?》一文里我们主要就数学是“思维定势”错误讨论了《抛掷硬币的问题》：
“在已经连续将一枚硬币任意地抛掷的9次中，掉下后都是正面朝上的。如果现在你再抛掷一次，假定不受任何外来因素的影响，那么硬币正面朝上的可能性是几分之几？”
按思维定势，我们的回答必定是：1/2。我的这篇文中指出了这是错误的。
注意：最关键之处是条件“硬币是匀称的”是“思维定势者”脑子里“莫须有条件”，题意中根本没有此“固有条件”，也分析不出此“隐含条件”。否则，我们在上一篇文章中所做的一切讨论全部都是多余的。
“思维定势”是一种陷于“陷阱”中的思维方式。
“思维定势”是一种陷于“陷阱”中的思维方式。
有人从对过往今来的故事传说做过的统计，从中发现一个规律：生活经验越是丰富的老人，智商情商越是高的哲人，武艺招数越是多的武林高手，越是容易陷入“思维定势”。相反知识浅薄、缺乏自信的，反而不会轻于上当。这就是所谓的“智者千虑”与“愚者千虑”的差别。
我认为，上面那个关于“智商情商与思维定势”关系的结论，不过是对“自认为智商高”的人的嘲弄和调侃，我不相信智商越高的人，真的会越容易陷入“思维定势”。但是我可以肯定对《抛掷硬币问题》给出“1／2”的答案的人智商绝对不低。这里的陷阱就是，把注意力转移到了毫无意义的干扰思维引向“陷阱”的“不受任何外来因素的影响”，而没有考虑到“抛掷硬币的结果会受内在结构因素的影响”，即“硬币是否均匀”是最关键的一个因素。
这篇文章发表后，想不到引来了大量朋友的注意，但据说三四天来，在这篇文章后面都发不上评论，怀疑我是不是又关闭评论不让大家说话了？
大家通过纸条箱和电子邮件，给了我十几个网址，指出我的结论是“错”的，告诉我“正确”答案确实是“1／2”，向我指出问题的“陷阱”是“连续９次出正面”。
大家冤枉我了，我是希望大家的评论发得越多越好。发不上评论，完全是“新浪系统”的问题。以前确实多次关闭评论，是因为我受不了一些网友的粗口。
即使我对本问题的解释确实是错了，这又有什么关系呢？一个人难保自己１００％都是正确的啊。就这个问题，我不可能关闭评论不让大家说话的。
更何况我本来就估计会引起争论的。有争论是正常的。为了说明我的观点，我附上了一个《公交蓝线红线》问题，让大家继续思考判断。
某甲住A镇，在B镇工作，公交“蓝线”和“红线”虽然有不同的起点和终点，但是都经过这两个小镇，且停靠在同一个车站。两线公交都是每10分钟发一班车，发车及运行过程都绝对正点、正常。
该某甲朋友从来没有在某个特定的时刻出发上班的习惯，也不看手表不用闹钟，反正他从来没迟到过。这几句话在数学上明确的含义是：在上班前某个时间段（例如半小时内）任何“一分一秒”从家里出发都是“等可能”的，或者说是服从“均匀分布”的。
但是，他发现乘上“红线”的次数很少，于是，就开始做起了记录，在4个月内的100次乘车记录中，乘上“蓝线”的次数是70，“红线”的次数是30。
当他与同是住A镇在B镇工作的某乙讲起此统计结果时，某乙说他的统计观察都做了3年多了，两个人的结果是完全成吻合比例的：1000次乘车记录中，乘上“蓝线”的次数是700，“红线”的次数是300。
该某甲朋友从来没有在某个特定的时刻出发上班的习惯，也不看手表不用闹钟，反正他从来没迟到过。这几句话在数学上明确的含义是：在上班前某个时间段（例如半小时内）任何“一分一秒”从家里出发都是“等可能”的，或者说是服从“均匀分布”的。
但是，他发现乘上“红线”的次数很少，于是，就开始做起了记录，在4个月内的100次乘车记录中，乘上“蓝线”的次数是70，“红线”的次数是30。
当他与同是住A镇在B镇工作的某乙讲起此统计结果时，某乙说他的统计观察都做了3年多了，两个人的结果是完全成吻合比例的：1000次乘车记录中，乘上“蓝线”的次数是700，“红线”的次数是300。
一个昵称为“板蓝根”的朋友在电子邮件里问：
1．你说“蓝线红线问题”是与“抛掷硬币问题”有同一个“思维定势”陷阱吗？
2．你说“抛掷硬币问题”并不是完全与高考无关，那么“蓝线红线问题”是与高考有关吗？
我的回答：
1．虽然“蓝线红线问题”与“抛掷硬币问题”分别属于“几何概型”与“古典概型”，但是确实属于同一个“思维定势”陷阱，请看我的最后答案。
2．因为我知道“古典概型”问题肯定属于高考数学大纲范围，但是不清楚“几何概型”是否也属于高考数学大纲之内容，所以我不能随便乱下结论。
我给他回答了给“板蓝根”的朋友的第二个回答，再次声明我不能肯定“蓝线红线问题”与高考是否有关。
感谢“好望角”朋友在得到我的回答后，又在我纸条箱里告诉我：“几何概型”肯定是高考大纲要求，文科理科都有。
我的回答是：即使“几何概型”是高考大纲要求，那么“蓝线红线问题”好象还是不太可能成为高考数学复习的典题，因为这个问题对于文科来说可能比较合适，但是对于理科来说，可能缺乏足够运算量的支撑。
●●(3月16日收到泉山闲人的来信，指出“好望角”朋友说的话可能有误，全国考试大纲也许不一样。谢谢泉山闲人的来信，今特将标题改掉了。并再次声明我不能肯定“蓝线红线问题”与高考是否有关。——3月18日注）●●
如果真是这样，我更需要把问题讲讲清楚。
并且要声明，由于这个“蓝线红线问题”也与高考数学有关，所以希望我的文章千万不要给考生和家长带来什么误导。
另外我要郑重声明，“蓝线红线问题”不是我的原创杰作，是根据我在25年前和我儿女们一起阅读《十万个为什么.少儿版.数学(三)》回忆整理改编。
下面我们就作出“蓝线红线问题”的正确解释：大家先来看下表：
根据此表，我们画出了如下一根直线（为了方便，我们故意把他画成了一根带子）：
那么，某甲（或某乙）到站乘车的时间，相当于“将一个‘几何点’随机地、均匀地投向这个线段”。我们可以清楚地看到：在“点”落到“蓝色”区间内的情况下，他只能乘上“蓝线车”；在“点”落到“红色”区间内的情况下，只能乘上“红线车”。
而“点”落到“蓝色”区间与“红色”区间的概率分别为0.7和0.3。
这就非常合理地解释了他们所遇到的实际情况。
但是，人们的“思维定势”与《抛掷硬币问题》一模一样，就在于注重与出发“正点、晚点”与运行过程的“正常、异常”上，由于题意中明确地排除了这种可能性，于是大家就盲目地断定：乘上“红线车”、“蓝线车”的概率都是相等的“１／２”，与硬币“正面朝上”、“反面朝上”的概率都是相等的“１／２”结论一样。
也就是说，人们的错误的“思维定势”出发（就如同我们把“硬币的结构”看作“一定是匀称”的限制一样，认为“红线车”与“蓝线车”之间的时间间隔一定都是５分钟），错误地认为：他们的这些乘车记录或抛硬币记录纯粹是属于“随机事件的偶然性”。
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