06级高等数学竞赛

小论文选题及展开提示

◆展开讨论提示：

　　有限个有理数的和，仍然是有理数；但是无限个有理数的和，却不一定仍然是有理数了。

　　有限项连续函数的和仍然是连续函数，但是傅里叶级数的基本知识告诉我们：无限项连续函数的和，不一定仍然是连续函数了。

　　高等数学中的你还可以举出更多这样的运算吗，他具有的可加性都是有限可加性，这又说明了什么？

●(2)对称——数学的和谐。

◆展开讨论提示：

 “重积分值与积分变量符号（名称）无关”是众所周知，这个性质对积分域是没有要求的。但是积分区域没有某种对称性，这一性质又有多少实际意义。

如果目标函数和约束条件的表达式有一定的“对称形式”，求拉格朗日函数驻点的方程组解起来就可用观察法。

●(3)链式法则与变量代换。

◆展开讨论提示：

　　一元函数求导的链式法则，在微分方程求解的变量代换（换元法）中，应用是丰富多彩的，多元函数求偏导数的链式法则，也是一样。

●(4)内涵与外延——函数延拓的思考。

◆展开讨论提示：

●(6)复数欧拉公式在高等数学中的应用。

◆展开讨论提示：

　　复数的欧拉公式在特征根为共轭复数时有特殊的作用，你能不能找到其他方面更多的应用，例如积分、级数展开。

●(7)相关变化率与全导数。

◆展开讨论提示：

●(8)小区泊车占路面面积问题。

◆展开讨论提示：

　　小区的路面宽度很有限，特别是较早建设的小区。而现在居民的轿车数量在不断增加，乱停车现象和泊车占路面积太大的问题非常严重。这些问题不仅会影响市容市貌及道路通畅，还会引起邻里纠纷，甚至造成交通事故。

　　现在要整顿、规划这些问题。请问，应该怎么样使用有限的路面停泊更多的车辆？

●(9)雨滴在屋顶面上的流动轨迹问题。

◆展开讨论提示：

　　同样在曲面上运动：登山讲究高度，要求安全；攀岩讲究陡度，必须惊险；而雨滴在屋顶面上的流动无须安全和惊险，却要求（下降）速度。

　　举例时，请不要举“屋顶面是平面或旋转曲面”的情况，因为这些特殊情况不具有一般性。

●(10)水是宝贵的——洗衣淘米问题。

◆展开讨论提示：

　　化工厂里的酸洗塔，要将物料的酸度（pH值——氢离子浓度的对数值）降到一定的水平。必须使用一定量的水，逐次进行冲洗。例如分三次，为使效果最好，如何合理分配每次的用水量？是三次均等分配用水量，还是逐次增加用水量，还是逐次减少用水量？

　　生活中这样的例子也是到处都有，洗衣、淘米等都是这一类问题。